影響汎関数の計算 - Caldeira-Leggettモデルを用いた具体例 -
ここでは量子開放系を扱う方法の一つとして経路積分を使ったFeynman-Vernonの方法で，
環境変数を含む部分を影響汎関数という形で表し、実際に積分を実行することで注目系に対する有効作用を得ることを試みる．
具体的な計算を実行するため，ここでは量子開放系のモデルとして有名なCaldeira-Leggettモデルを採用している．
詳細は前回の記事を参照のこと．
影響汎関数の導入
元の問題に戻って，換算密度行列を整理すると
\begin{align}
\rho^S_t(\bm{x}, \bm{x}^{\prime} )
&=
\int_{\bar{x},\bar{x}^{\prime}}
G_t(x , x^{\prime} ; \bar{x} ,\bar{x}^{\prime} ) \,
\rho^S _0(\bar{x}, \bar{x}^{\prime}),
\end{align}
と表せる（詳細は前回の記事を参照のこと）．
ここで
$\rho^S_0(\bar{x}, \bar{x}^{\prime})= \langle \bar{x} | \hat{\rho}_0^S |\bar{x}^{\prime}\rangle$
である．
$G_t$
は経路積分で表されるプロパゲータで,
\begin{align}
G_t(x, x^{\prime} ; \bar{x}, \bar{x}^{\prime} )
&=
\int_{X, \bar{X}, \bar{X}^{\prime}}
K(xX,\bar{x}\bar{X};t,0) \,
\rho^B
\lk \bar{X}, \bar{X}^{\prime}\rk
K(\bar{x}^{\prime}\bar{X}^{\prime}, x^{\prime}X^{\prime};0,t)
\\
&=
\int\mathcal{D}x \mathcal{D}x^{\prime} \exp{i(\mathcal{A}_S[x] - \mathcal{A}_S[x^{\prime}])}
F[x,x^{\prime}]
\end{align}
と書ける．
ここで
$\rho^B( \bar{X},\bar{X}^{\prime})= \langle \bar{X} | \hat{\rho}_0^B |\bar{X}^{\prime}\rangle$
であり，
$F[x,x^{\prime}]$
は影響汎関数と呼ばれる汎関数で環境が注目系に与える効果をすべて含んでいる．
上の式変形で1行目から2行目では，
$K$
の経路積分表示を代入し，環境変数に関する積分を
$F[x, x^{\prime}]$
の中に含めているので注意が必要である．
具体的な形は
\begin{align}
\nonumber
F[x,x^{\prime}] &= \int_{\bar{X},\bar{X}^{\prime}}
\rho^B_0(\bar{X},\bar{X}^{\prime})
\\
&
\times \int_X \int \mathcal{D}X \mathcal{D}X^{\prime} \exp{i(\mathcal{A}^I[x,X]
- \mathcal{A}^I[x^{\prime},X^{\prime}] + \mathcal{A}^B[X] - \mathcal{A}^B[X^{\prime}])}
\end{align}
となる．
さらに密度行列の時間発展を得るにはこのプロパゲータ
$G$
の具体形を得る必要があるが，
そのためにはこの影響汎関数
$F$
を計算する必要がある．
影響汎関数の計算
以下ではこの影響汎関数の計算を確認しておこう．
以下では簡単のために$k$の和と添え字を省略して書く．
$F$に含まれる環境の自由度を積分するので,作用の中の環境部分と相互作用部分に注目する.
ここで環境の変数を古典軌道とそのゆらぎに分けて
\begin{align}
X(u) = X_c(u) + Y(u)
\end{align}
とかく.このとき作用を$S_e[x,X] \equiv \mathcal{A}^B [X] + \mathcal{A}^I[x,X] $とおいて
$S_e$を
$X_c$のまわりで展開すると
$S_e$は
$X$について高々二次までしか含まないので,
\begin{align}
\nonumber
S_e[x, X] &= S_e[x,X_c] + \int du \left. \frac{\delta S_e}{\delta X(u)} \right|_{X=X_c} [X(u) - X_c(u)] \\ \nonumber
&\quad \quad + \frac{1}{2} \int du du^{\prime} \left. \frac{\delta S_e}{\delta X(u^{\prime}) \delta X(u)} \right|_{X=X_c} [X(u) - X_c(u)] [X(u^{\prime}) - X_c(u^{\prime})] + \cdots \\
&= S_e[x,X_c] + \int du \left. \frac{\delta S_e}{\delta X(u)} \right|_{X=X_c}Y(u) + \frac{1}{2} \int du du^{\prime} \left. \frac{\delta S_e}{\delta X(u^{\prime}) \delta X(u)} \right|_{X=X_c} Y(u) Y(u^{\prime})
\end{align}
となる.ここで
\begin{align}
\nonumber
\frac{\delta S_e}{\delta X(u)} &= \int du^{\prime} \left[ \left( -\frac{d^2}{du^{\prime 2}} - \omega^2 \right) X(u^{\prime}) \delta (u-u^{\prime}) - x(u^{\prime}) \delta (u-u^{\prime}) \right] \\
&= \left( -\frac{d^2}{du^{2}} - \omega^2 \right) X(u) - x(u) \\
&\xrightarrow[X \to X_c]{} 0 \\
\frac{\delta ^2 S_e}{\delta X(u^{\prime}) \delta X(u)} &= \left( -\frac{d^2}{du^{2}} - \omega^2 \right) \delta (u-u^{\prime})
\end{align}
なので
\begin{align}
S_e[x, X] = S_e[x,X_c] + \frac{1}{2} \int du Y(u) \left( -\frac{d^2}{du^{2}} - \omega^2 \right) Y(u)
\end{align}
と書ける.
ただし古典軌道が従う運動方程式は
\begin{align}
\frac{d^2}{du^2} X_c(t) + \omega^2 X_c(u) + x(u) = 0
\end{align}
であることを用いた．
この方程式の特解は外力がない場合の運動方程式
\begin{align}
\frac{d^2}{du^2} X_c(u) + \omega^2 X_c(u) = 0
\end{align}
に従うのでこの特解を$X_{cs}$書くと
\begin{align}
X_{cs} &= \bar{X} \frac{\sin{\omega(t-u)}}{\sin{\omega t}} + X \frac{\sin{\omega u}}{\sin{\omega t}}
\end{align}
となる.よって一般解は
\begin{align}
X_c (u) = X_{cs} (u) + \int^t_0 du^{\prime} G(u,u^{\prime}) x(u^{\prime})
\end{align}
とあらわせる．ただし$G(u,u^{\prime})$は
\begin{align}
-(\frac{d^2}{du^2} + \omega^2) G(u,u^{\prime}) = \delta (u-u^{\prime})
\end{align}
で定義されるグリーン関数である．またこの関数は境界条件
$G(u=0,u^{\prime}) = G(u=t, u^{\prime}) = 0$を満たすとする．
実際,この解はもとの運動方程式の解になっている．
このグリーン関数を求めると
\begin{align}
G=
\theta(u-u^{\prime})\frac{1}{\omega \sin{\omega t}} \sin{\omega (t-u)} \sin{\omega u^{\prime}}
+
\theta(u^{\prime}-u)\frac{1}{\omega \sin{\omega t}} \sin{\omega (t-u^{\prime})} \sin{\omega u}
\end{align}
となる．
この
$X_{c}$
を使って
上の
$S_e[x,X_c]$
を書くと
\begin{align}
\nonumber
S_e[x,X_c]&= \int^t_0 du [ \frac{1}{2} \dot{X}^2_c (u) - \frac{1}{2} \omega^2 X^2_c (u) -X_c (u) x(u) ] \\ \nonumber
&= \int du [ - \frac{1}{2} X_c \ddot{X}^2_c - \frac{1}{2} \omega^2 X^2_c (u) -X_c (u) x(u) ] + \frac{1}{2} \int^t_0 du \frac{d^2}{du^2} (X_c \dot{X}_c) \\ \nonumber
&= - \frac{1}{2} \int du X_c [ \ddot{X}_c + \omega^2 X_c ] - \int du X_c x(u) +\frac{1}{2} [ X_c(t) \dot{X}_c(t) -X_c(0) \dot{X}_c(0) ] \\ \nonumber
&=- \frac{1}{2} \int du X_c \left[ \left[\frac{d^2}{dt^2} + \omega^2 \right] X_{cs} + \left[\frac{d^2}{du^2} + \omega^2 \right] \int^t_0 du^{\prime} G(u,u^{\prime}) x(u^{\prime}) \right] \\ \nonumber
&\quad \quad - \int du X_c x(u) +\frac{1}{2} [ X_c(t) \dot{X}_c(t) -X_c(0) \dot{X}_c(0) ] \\ \nonumber
&= \frac{1}{2} \int du x(t) X_c (u) - \int du x(u) X_c (u) + \frac{1}{2} [ X_c(t) \dot{X}_c(t) -X_c(0) \dot{X}_c(0) ] \\
&= -\frac{1}{2} \int du x(u) X_c (u) + \frac{1}{2} [ X_c(t) \dot{X}_c(t) -X_c(0) \dot{X}_c(0) ]
\end{align}
となる．
ここで
\begin{align}
\nonumber
\dot{X}_c (u) &= \dot{X}_{cs} + \frac{d}{du} \int du^{\prime} G(u,u^{\prime}) x(u^{\prime}) \\
&= \frac{\omega}{\sin{\omega t}} [ X \cos{\omega t} - \bar{X} \cos{\omega(t-u)} ] + \int du^{\prime} \frac{d}{du} G(u,u^{\prime}) x(u^{\prime})
\end{align}
となるので上の作用の第二項は
\begin{align}
\nonumber
\frac{1}{2} [ X_c(t) \dot{X}_c(t) &- X_c(0) \dot{X}_c(0) ] \\ \nonumber
&= X \left[ \frac{\omega}{\sin{\omega t}} [ X \cos{\omega t} - \bar{X} ] + \int du^{\prime} \frac{d}{du} G(u,u^{\prime})|_{u=t} x(t^{\prime}) \right] \\ \nonumber
&\quad \quad - \bar{X} \left[ \frac{\omega}{\sin{\omega t}} [X - \bar{X} \cos{\omega t}] + \int du^{\prime} \frac{d}{du} G(u,u^{\prime})|_{u=0} x(u^{\prime}) \right] \\ \nonumber
&= \frac{\omega}{2\sin{\omega t}} \left[ X [ X \cos{\omega t} - \bar{X} ] - \bar{X} [X - \bar{X} \cos{\omega t}] \right] \\ \nonumber
&\quad \quad +\frac{1}{2} \int du^{\prime} \left[ X \int du^{\prime} \frac{d}{du} G(u,u^{\prime})|_{u=t} x(u^{\prime}) - \int du^{\prime} \frac{d}{du} G(u,u^{\prime})|_{u=0} x(u^{\prime}) \right] \\ \nonumber
&= \frac{\omega}{2\sin{\omega t}} [ (X^2 + \bar{X}^2)\cos{\omega t} -2X\bar{X} ] \\
&\quad \quad + \frac{1}{2} \int du^{\prime} \left[ X \int du^{\prime} \frac{d}{du} G(u,u^{\prime})|_{u=t} x(u^{\prime}) - \int du^{\prime} \frac{d}{du} G(u,u^{\prime})|_{u=0} x(u^{\prime}) \right]
\end{align}
と書ける．
ここで
$G(u,u^{\prime})$
より
\begin{align}
\nonumber
\frac{d^2}{du^2} G(u,u^{\prime}) &= - \frac{1}{\sin{\omega t}} \left[ \theta(u-u^{\prime}) \cos{\omega (t-u)} \sin{\omega u^{\prime}} \right. \\
&\quad \quad \left. - \theta (u^{\prime} - u) \sin{\omega (t-u^{\prime})} \cos{\omega u} \right]
\end{align}
なので
\begin{align}
\frac{d^2}{du^2} G(u,u^{\prime})|_{u=0} &= \frac{\sin{\omega (t-u^{\prime})}}{\sin{\omega t}} \\
\frac{d^2}{du^2} G(u,u^{\prime})|_{u=t} &= -\frac{\sin{\omega u^{\prime}}}{\sin{\omega t}}
\end{align}
である．これを使うと
\begin{align}
\nonumber
\frac{1}{2} \int& du^{\prime} \left[ X \int du^{\prime} \frac{d}{du} G(u,u^{\prime})|_{u=t} x(u^{\prime}) - \int du^{\prime} \frac{d}{du} G(u,u^{\prime})|_{u=0} x(u^{\prime}) \right] \\ \nonumber
&=
-\frac{1}{2} \int du^{\prime} \left[ \int du^{\prime} X +\frac{\sin{\omega u^{\prime}}}{\sin{\omega t}} + \frac{\sin{\omega (t-u^{\prime})}}{\sin{\omega t}} \right] x(u^{\prime}) \\
&=
- \frac{1}{2} \int du^{\prime} X_{cs} (u^{\prime}) x(u^{\prime})
\end{align}
となる．一方で
\begin{align}
\nonumber
-\frac{1}{2}
\int^t_0 du x(u) X_c (u)
&=
-\frac{1}{2}
\int du x(u) \left[ X_{cs} (u) + \int^t_0 du^{\prime} G(u,u^{\prime}) x(u^{\prime}) \right] \\
&=
-\frac{1}{2} \int x(u) X_{cs} -\frac{1}{2} \int du du^{\prime} x(u) G(u,u^{\prime}) x(u^{\prime})
\end{align}
となるので結局,もとの作用は
\begin{align}
S_e[x,X_c]
&=
- \omega \frac{\bar{X} X}{\sin{\omega t}}
+ \frac{ \omega}{2}
(\bar{X}^2 +X^2)\cot{\omega t}
+ \int du x(t) X_{cs}(u)
-\frac{1}{2} \int du du^{\prime} x(u) G(u,u^{\prime}) x(u^{\prime})
\end{align}
と表せる.
$X$についての経路積分を$Y$についての経路積分にして積分を実行する．このとき$Y$について二次の形になっているので普通の調和振動子のときと同じようにガウス積分を使って計算できて全体の計算には定数倍しか影響しない
(調和振動子系の経路積分は
「調和振動子系の経路積分」
参照).
よって,作用は
\begin{align}
\nonumber
S_e[x,X]
&
\sim S_e[x,X_c]
\\
&
= - \omega \frac{\bar{X} X}{\sin{\omega t}}
+ \frac{ \omega}{2} (\bar{X}^2 +X^2)\cot{\omega t}
+ \int^t_0 du x(u) X_{cs}(u)
-\frac{1}{2} \int^t_0 du \int^t_0 du^{\prime} x(u) G(u,u^{\prime}) x(u^{\prime})
\end{align}
となる.
また環境は調和振動子なので,初期状態を有限温度（$t=-i\beta$）で熱平衡状態
\begin{align}
\nonumber
\rho^B_0(\bar{X},\bar{X}^{\prime})
&
= \bra{\bar{X}} e^{-\beta \hat{H}_B} \ket{\bar{X}^{\prime}}
\\
&
\propto
\exp{
\left(
- \sum_{k} \frac{\omega_k}{2\sinh{\omega_k \beta}}
\left[
[ \bar{X}_{k}^2 + \bar{X}^{\prime 2}_{k} ]
\cosh{\omega_k \beta} -2\bar{X}_{k} \bar{X}^{\prime}_{k}
\right]
\right)
}
\end{align}
とする.ただし$\beta=\frac{1}{kT}$である.
これらをInfluence functionalに代入して積分を実行する.$F[x,x^{\prime}]$は$k$についての和を省略して書くと
\begin{align}
\nonumber
F[x,x^{\prime}]
&
\propto
\int_{\bar{X},\bar{X}^{\prime}}
\rho^B_0(\bar{X},\bar{X}^{\prime})
\int_X
\exp{
\left[
i(S_e [x,X]- S_e [x^{\prime},X^{\prime}])
\right] }
\\ \nonumber
&
= \int_{\bar{X},\bar{X}^{\prime}}
\rho^B_0(\bar{X},\bar{X}^{\prime})
\\ \nonumber
&
\quad\times
\int_X \exp
\left[
i\left(
-\frac{\omega}{\sin{\omega t}} (\bar{X} X - \bar{X}^{\prime} X^{\prime})
\right.
\right.
\\ \nonumber
&
\quad
+\frac{\omega}{2}
(\bar{X}^2 +X^2 - \bar{X}^{\prime 2} -X^{\prime 2})\cot{\omega t}
+ \int^t_0 du
( x(u) X_{cs} (u) - x^{\prime}(u) X^{\prime}_{cs} (u) )
\\ \nonumber
&
\quad
\left.
\left.
- \frac{1}{2}
\int^t_0 du \int^t_0 du^{\prime}
( x(u) G(u,u^{\prime}) x(u^{\prime})
- x^{\prime}(u) G(u,u^{\prime}) x^{\prime}(u^{\prime}) )
\right)
\right]
\\ \nonumber
&
= \int_{\bar{X},\bar{X}^{\prime}}
\rho^B_0(\bar{X},\bar{X}^{\prime})
\\ \nonumber
&
\quad\times
\int_X \exp
\left[
i\left(
-\frac{\omega X}{\sin{\omega t}}
(\bar{X} - \bar{X}^{\prime} )
+\frac{\omega}{2} (\bar{X}^2 - \bar{X}^{\prime 2} )\cot{\omega t}
\right)
\right]
\\ \nonumber
&
\quad \times
\exp
\left[
i \int^t_0 du
\left(
[ x(u)\bar{X} - x^{\prime}(u) \bar{X}^{\prime} ]
\frac{\sin{\omega(t-u)}}{\sin{\omega t}} + X[ x(u)-x^{\prime}(u) ]
\frac{\sin{\omega u}}{\sin{\omega t}}
\right)
\right]
\\
&
\quad \times
\exp
\left[
-\frac{i}{2\omega \sin{\omega t} }
\int^t_0 \int^t_0 du du^{\prime}
\sin{\omega (t-u)} \sin{\omega u^{\prime}}
[ x(u) x(u^{\prime}) - x^{\prime}(u) x^{\prime} (u^{\prime})]
\right]
\end{align}
となる.
ただし
$X^{\prime} (t) = X(t)$
を用いた.
上の最右辺の最後のexpは$X$についての積分には影響しないので省いて考えると
\begin{align}
\nonumber
&
\int d\bar{X} d\bar{X}^{\prime}
\rho^B_0(\bar{X},\bar{X}^{\prime})
\\ \nonumber
&
\quad\times
\int dX \exp
\left[
i\left(
-\frac{\omega X}{\sin{\omega t}} (\bar{X} - \bar{X}^{\prime} )
+ \frac{\omega}{2} (\bar{X}^2 - \bar{X}^{\prime 2} )\cot{\omega t}
\right)
\right]
\\ \nonumber
&
\quad\times \exp \left[i \int du \left( [ x(u)\bar{X} - x^{\prime}(u) \bar{X}^{\prime}]
\frac{\sin{\omega(t-u)}}{\sin{\omega t}} + X[ x(u)-x^{\prime}(u) ]
\frac{\sin{\omega u}}{\sin{\omega t}} \right) \right]
\\ \nonumber
&
= \int d\bar{X} d\bar{X}^{\prime}
\rho^B_0(\bar{X},\bar{X}^{\prime})
\\ \nonumber
&
\quad\times
\int dX
\exp \left[ i \frac{X}{\sin{\omega t}} \left( - \omega (\bar{X} - \bar{X}^{\prime} )
+ \int du [ x(u)-x^{\prime}(u) ] \sin{\omega u} \right) \right]
\\ \nonumber
&
\quad\times
\exp \left[
i\left(
\frac{\omega}{2} (\bar{X}^2 - \bar{X}^{\prime 2} )
\cot{\omega t} + \int du [x(u) \bar{X} - x^{\prime}(u) \bar{X}^{\prime} ]
\frac{\sin{\omega(t-u)}}{\sin{\omega t}}
\right)
\right]
\\ \nonumber
&
=
\left(
\prod_k 2 \pi\sin{\omega t}
\right)
\int d\bar{X} d\bar{X}^{\prime}
\rho^B_0(\bar{X},\bar{X}^{\prime})
\\ \nonumber
&
\quad\times
\delta
\left(
-\omega (\bar{X} - \bar{X}^{\prime} ) + \int du [ x(u)- x^{\prime}(u) ] \sin{\omega u}
\right)
\\
&
\quad\times \exp
\left[
i \left(
\frac{\omega}{2} (\bar{X}^2 - \bar{X}^{\prime 2} )\cot{\omega t}
+ \int du [x(u)\bar{X} - x^{\prime}(u) \bar{X}^{\prime} ]
\frac{\sin{\omega(t-u)}}{\sin{\omega t}}
\right)
\right]
\end{align}
となる.ただしデルタ関数を用いた.
ここで
\begin{align}
\alpha_1 \equiv \frac{1}{\omega} \int^t_0 du [ x(u)-x^{\prime}(u) ] \sin{\omega u}
\end{align}
とおいて
$d\bar{X}^{\prime}$
について積分すると
上の式で
$\bar{X}^{\prime} \rightarrow \bar{X} - \alpha_1$
となるので
\begin{align}
\nonumber
&
=
\left(
\prod_k \frac{2 \pi}{\sin{\omega t}}
\right) \int d\bar{X}
\rho^B_0(\bar{X},\bar{X} - \alpha_1)
\\
&
\quad \quad \times \exp
\left[
i\left(
\frac{\omega}{2} (\bar{X}^2 - (\bar{X} - \alpha_1)^2 )\cot{\omega t}
+ \int du[ x(u)\bar{X} - x^{\prime}(u) (\bar{X} - \alpha_1) ]
\frac{\sin{\omega(t-u)}}{\sin{\omega t}}
\right)
\right]
\\
&
=
\left(
\prod_k \frac{2 \pi}{\sin{\omega t}}
\right) \int d\bar{X}
\exp{
\left(
-\frac{\omega}{2\sinh{\omega \beta}}
\left[
[ \bar{X}^2 + (\bar{X} - \alpha_1)^2 ] \cosh{\omega \beta} -\bar{X} (\bar{X} - \alpha_1)
\right]
\right)
}
\\ \nonumber
&
\quad \quad \times \exp
\left[
i \bar{X} (\omega \alpha \cot{\omega t} +
\int du (x- x^{\prime}) \frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} })
\right]
\\ \nonumber
&
\quad \quad \times \exp
\left[
i ( -\frac{\omega}{2} \alpha_1^2 \cot{\omega t}
+ \int du \alpha_1 x^{\prime} \frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} } )
\right]
\\ \nonumber
&
=
\left(
\prod_k \frac{2 \pi}{\sin{\omega t}}
\right) \int d\bar{X}
\exp
\left[
- \frac{\omega}{2 \sinh{\omega \beta} } ( 2\bar{X}^2 ( \cosh{\omega \beta} -1 ) - 2 \bar{X} \alpha_1 (\cosh{\omega \beta} -1) + \alpha_1^2 \cosh{\omega \beta} )
\right]
\\ \nonumber
&
\quad \quad \times \exp
\left[
i \bar{X} (\omega \alpha_1 \cot{\omega t}
+ \int du (x- x^{\prime}) \frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} })
\right]
\\ \nonumber
&
\quad \quad \times \exp
\left[
i (-\frac{\omega}{2} \alpha_1^2 \cot{\omega t}
+ \int du \alpha_1 x^{\prime} \frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} } )
\right]
\end{align}
と書ける.
ここで簡単のために
\begin{align}
\alpha_2 &\equiv \omega \alpha_1 \cot{\omega t} + \int^t_0 du (x(u) - x^{\prime} (u) ) \frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} } \\
\alpha_3 &\equiv \frac{\omega}{\sinh{\omega \beta}} (\cosh{\omega \beta} -1)
\end{align}
として,
$\bar{X}$
についてまとめると
\begin{align}
\nonumber
&
= \exp
\left[
-\frac{\omega \alpha_1^2 \cosh{\omega \beta}}{2\sinh{\omega \beta}}
\right]
\\ \nonumber
&
\quad \quad \times \exp
\left[
i(-\frac{\omega}{2} \alpha_1^2 \cot{\omega t}
+ \int du \alpha_1 x^{\prime}(u) \frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} } )
\right]
\\
&
\quad \quad \times
\int d \bar{X} \exp
\left[
-\alpha_3 \bar{X}^2 +(\alpha_3 \alpha_1+ i \alpha_2) \bar{X}
\right]
\end{align}
となる.
この積分はガウス積分の公式を使って計算できて
\begin{align}
\nonumber
\int
& d \bar{X} \exp
\left[
-\alpha_3 \bar{X}^2 +(\alpha_3 \alpha_1+ i \alpha_2) \bar{X}
\right]
\\ \nonumber
&=
\int d \bar{X} \exp
\left[
-\alpha_3( \bar{X}+\frac{\alpha_3 \alpha_1+ i \alpha_2}{2\alpha_3} )^2
\right]
\exp
\left[
\frac{ (\alpha_3 \alpha_1+ i \alpha_2)^2}{4\alpha_3}
\right]
\\ \nonumber
&
= \sqrt{\frac{\pi}{\alpha_3}} \exp \left[ \frac{ (\alpha_3 \alpha_1+ i \alpha_2)^2}{4\alpha_3} \right]
\\
&
=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha_3}}\exp
\left[
\frac{\alpha_3^2 \alpha_1^2 - \alpha_2^2}{4\alpha_3}
\right]
\exp
\left[
\frac{i}{2} \alpha_1 \alpha_2
\right]
\end{align}
となる.
よって,これまでの計算をまとめると
$F[x,x^{\prime}]$
は
\begin{align}
\nonumber
F[x,x^{\prime}]
&
\propto \exp
\left[
-\frac{\omega \alpha_1^2 \cosh{\omega \beta}}{2\sinh{\omega \beta}}
\right]
\\ \nonumber
&
\quad \quad \times \exp
\left[
i(-\frac{\omega}{2} \alpha_1^2 \cot{\omega t} + \int du \alpha_1 x^{\prime}(u) \frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} } )
\right]
\\ \nonumber
&
\quad \quad \times \exp
\left[
\frac{\alpha_3^2 \alpha_1^2 - \alpha_2^2}{4\alpha_3} \right] \exp \left[ \frac{i}{2} \alpha_1 \alpha_2
\right]
\\ \nonumber
&
\quad \quad \times \exp
\left[
-\frac{i}{2\omega \sin{\omega t} }
\int^t_0 du \int^u_0 du^{\prime} \sin{\omega (t-u)} \sin{\omega u^{\prime}}
[ x(u) x(u^{\prime}) - x^{\prime}(u) x^{\prime} (u^{\prime})]
\right]
\\
&
= \exp
\left[
-\frac{\omega \alpha_1^2 \cosh{\omega \beta}}{2\sinh{\omega \beta}}
+ \frac{\alpha_3^2 \alpha_1^2 -\alpha_2^2}{4\alpha_3}
\right]
\\ \nonumber
&
\quad \quad \times \exp
\left[
i \left(
-\frac{\omega}{2} \alpha_1^2 \cot{\omega t}
+ \int du \alpha_1 x^{\prime}(u) \frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} }
+ \frac{1}{2} \alpha_1 \alpha_2
\right.
\right.
\\
&\quad \quad
\left.
\left.
- \frac{1}{2\omega \sin{\omega t} }
\int^t_0 du \int^u_0 du^{\prime} \sin{\omega (t-u)} \sin{\omega u^{\prime}}
[ x(u) x(u^{\prime}) - x^{\prime}(u) x^{\prime} (u^{\prime}) ]
\right)
\right]
\end{align}
となる.
これをexpの肩に$i$を含まない実数部分と$i$を含む虚数部分に分けてそれぞれ整理する．
まず実数部分は
\begin{align}
\nonumber
(\mbox{real term})
&
= - \frac{\omega \alpha_1^2 \cosh{\omega \beta}}{2\sinh{\omega \beta}}
+ \frac{\alpha_3^2 \alpha_1^2 - \alpha_2^2}{4\alpha_3}
\\ \nonumber
&
= - \frac{\omega \alpha_1^2 \cosh{\omega \beta}}{2\sinh{\omega \beta}}
+\frac{1}{4} \alpha_3 \alpha_1^2 - \frac{\alpha_2^2}{4\alpha_3}
\\ \nonumber
&
=- \frac{\omega \alpha_1^2 \cosh{\omega \beta}}{2\sinh{\omega \beta}}
+\frac{\omega \alpha_1^2}{4 \sinh{\omega \beta}} ( \cosh{\omega \beta} -1 )
- \frac{\alpha_2^2}{4\alpha_3}
\\
&
= - \frac{\cosh{\omega \beta} + 1}{4\omega \sinh{\omega \beta}} \alpha_1^2
- \frac{\alpha_2^2}{4\alpha_3}
\end{align}
となる．
ここで上式の第二項は
\begin{align}
\nonumber
-\frac{\alpha_2^2}{4\alpha_3}
&
=-\frac{1}{4 \alpha_3}
\left[
\omega \alpha_1 \cot{\omega t}
+ \int du [x(u) - x^{\prime} (u) ]
\frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} }
\right]^2
\\ \nonumber
&
= -\frac{1}{4 \alpha_3}
\left[
\omega^2 \alpha_1^2 \cot^2{\omega t}
+ 2\alpha_1 \omega \cot{\omega t}
\int [x(u) - x^{\prime} (u) ] \frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} }
\right.
\\ \nonumber
&
\quad \quad
\left.
+ \int du du^{\prime}
[x(u) - x^{\prime} (u) ] [x(u^{\prime}) - x^{\prime} (u^{\prime}) ]
\frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} }
\frac{\sin{\omega (t-u^{\prime})}}{\sin{\omega t} }
\right]
\\ \nonumber
&
=-\frac{1}{4 \alpha_3}
\int du du^{\prime} [x(u) - x^{\prime} (u) ] [x(u^{\prime}) - x^{\prime} (u^{\prime}) ]
\\ \nonumber
&
\quad \quad \times
\left[
\cot^2{\omega t} \sin{\omega u} \sin{\omega u^{\prime}}
+ 2\omega \cot{\omega t} \frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} } \sin{\omega u^{\prime}}
+ \frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} } \frac{\sin{\omega (t-u^{\prime})}}{\sin{\omega t} }
\right]
\\ \nonumber
&
= -\frac{1}{4 \alpha_3}
\int du du^{\prime} [x(u) - x^{\prime} (u) ] [x(u^{\prime}) - x^{\prime} (u^{\prime}) ]
\\ \nonumber
&
\quad \quad \times
\frac{1}{\sin^2{\omega t}}
\left[
\cos^2{\omega t} \sin{\omega u} \sin{\omega u^{\prime}}
+ 2\cos{\omega t} \sin{\omega (t-u)} \sin{\omega u^{\prime}}
\sin{\omega (t-u)} \sin{\omega (t-u^{\prime})}
\right]
\\ \nonumber
&
= - \frac{1}{4 \alpha_3}
\int du du^{\prime} [x(u) - x^{\prime} (u) ] [x(u^{\prime}) - x^{\prime} (u^{\prime}) ]
\\
\nonumber
&\quad\quad\times
\frac{1}{\sin^2{\omega t}}
\left[
\cos^2{\omega t} \sin{\omega u} \sin{\omega u^{\prime}}
+ 2 \sin{\omega t} \cos{\omega t} \cos{\omega u} \sin{\omega u^{\prime}}
- 2\cos^2{\omega t} \sin{\omega u} \sin{\omega u^{\prime}}
\right.
\\
\nonumber
&\quad\quad\quad+
\left.
\sin^2{\omega t} \cos{\omega u} \cos{\omega u^{\prime}}
- \sin{\omega t} \cos{\omega t} \cos{\omega u} \sin{\omega u^{\prime}}
\right.
\\
&\quad\quad\quad-
\left.
\sin{\omega t} \cos{\omega t} \sin{\omega u} \cos{\omega u^{\prime}}
+ \cos^2{\omega t} \sin{\omega u} \sin{\omega u^{\prime}}
\right]
\\
&
= - \frac{1}{4 \alpha_3}
\int du du^{\prime}
[x(u) - x^{\prime} (u) ] [x(u^{\prime}) - x^{\prime} (u^{\prime}) ]
\cos{\omega u} \cos{\omega u^{\prime}}
\end{align}
となる.
また双曲線関数について成り立つ関係式
\begin{align}
\cosh^2{\omega \beta} - \sinh^2{\omega \beta}
&
=1
\\ \nonumber
\cosh^2{\omega \beta} -1
&
= \sinh^2{\omega \beta}
\\ \nonumber
(\cosh{\omega \beta} + 1)(\cosh{\omega \beta} - 1)
&
= \sinh^2{\omega \beta}
\\
\frac{\sinh{\omega \beta}}{\cosh{\omega \beta} - 1}
&
= \frac{\cosh{\omega \beta} + 1}{\sinh{\omega \beta}}
\end{align}
を使うと上の式は整理できて
実数部分は
\begin{align}
\nonumber
(\mbox{real term})
&
= - \frac{\cosh{\omega \beta} + 1 }{4 \omega \sinh{\omega \beta}}
\int du du^{\prime}
[ x(u) - x^{\prime}(u) ][ x(u^{\prime}) - x^{\prime}(u^{\prime}) ]
\left[
\sin{\omega u} \sin{\omega u^{\prime}}
+\cos{\omega u} \cos{\omega u^{\prime}}
\right]
\\
&
= - \frac{\cosh{\omega \beta} + 1 }{4 \omega \sinh{\omega \beta}}
\int du du^{\prime}
[ x(u) - x^{\prime}(u) ][ x(u^{\prime}) - x^{\prime}(u^{\prime}) ]
\cos{\omega (u-u^{\prime})}
\end{align}
となる．
さらに係数部分を変形すると,双曲線関数についての半角の公式を使って
\begin{align}
\nonumber
-\frac{\cosh{\omega \beta} + 1 }{4 \omega \sinh{\omega \beta}}
&
= -\frac{2\cosh^2{\omega \beta/2}}{4 \omega 2\sinh{\omega \beta/2 } \cosh{ \omega \beta/2 } }
\\ \nonumber
&
= -\frac{ \cosh{\omega \beta/2} }{ 4\omega \sinh{\omega \beta/2} }
\\
&
= -\frac{1}{4\omega} \coth{\omega \beta/2}
\end{align}
となるので,
$k$
についての和を復活させて書くと
\begin{align}
(\mbox{real term})
&
= -\frac{1}{4\omega}
\int^t_0 du \int^t_0 du^{\prime}
\coth{ \frac{\omega \beta}{2} }
\cos{\omega (u-u^{\prime})}
[ x(u) - x^{\prime}(u) ][ x(u^{\prime}) - x^{\prime}(u^{\prime}) ]
\\ \nonumber
&
= -\sum_{k} \frac{c^2_k}{2 \omega_k}
\int^t_0 du \int^u_0 du^{\prime }
\coth{\left(\frac{\omega_k \beta}{2}\right) }
\cos{\omega_k (u-u^{ \prime} )}
[x(u)-x^{\prime} (u)][x(u^{ \prime})-x^{\prime} (u^{ \prime})]
\end{align}
と書ける．
次に虚数部分を計算する．まず
\begin{align}
\nonumber
(\mbox{imaginary term})
&
= -\frac{\omega}{2} \alpha_1^2 \cot{\omega t}
+ \int du \alpha_1 x^{\prime}(u) \frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} }
+ \frac{1}{2} \alpha_1 \alpha_2
\\ \nonumber
&
\quad \quad
- \frac{1}{2\omega \sin{\omega t} }
\int^t_0 \int^t_0 du du^{\prime}
\sin{\omega (t-u)} \sin{\omega u^{\prime}}
[ x(u) x(u^{\prime}) - x^{\prime}(u) x^{\prime} (u^{\prime}) ]
\\
&
= A+B+C ,
\\ \nonumber
&
\quad
\\
A
&
= -\frac{\omega}{2} \alpha_1^2 \cot{\omega t}
+ \int du \alpha_1 x^{\prime}(u)
\frac{\sin{\omega (t-u)}}{\sin{\omega t} } ,
\\
B
&
= \frac{1}{2} \alpha_1 \alpha_2 ,
\\
C
&
= - \frac{1}{2}
\int^t_0 \int^t_0 du du^{\prime}
G(u,u^{\prime})
[ x(u) x(u^{\prime}) - x^{\prime}(u) x^{\prime} (u^{\prime}) ]
\end{align}
とわけて,$A,B,C$をそれぞれ計算すると
\begin{align}
A
&
= -\frac{\omega}{2} \alpha_1^2 \cot{\omega t}
+ \frac{1}{ \omega \sin{\omega t}}
\int du du^{\prime}
[x(u^{\prime}) - x^{\prime}(u^{\prime})]
x^{\prime}(u) \sin{\omega (t-u)} \sin{\omega u^{\prime}} ,
\\
B
&
= \frac{\omega}{2} \alpha_1^2 \cot{\omega t}
+ \frac{1}{ 2\omega \sin{\omega t}}
\int du du^{\prime}
[x(u) - x^{\prime}(u)] [x(u^{\prime}) - x^{\prime}(u^{\prime})]
\sin{\omega (t-u)} \sin{\omega u^{\prime}} ,
\\ \nonumber
&
\quad
\\ \nonumber
A+B
&
= \frac{1}{ 2\omega \sin{\omega t}}
\int du du^{\prime}
\left[
2 [x(u^{\prime}) - x^{\prime}(u^{\prime})] x^{\prime}(u)
+[x(u) - x^{\prime}(u)] [x(u^{\prime}) - x^{\prime}(u^{\prime})]
\right]
\sin{\omega (t-u)} \sin{\omega u^{\prime}}
\\ \nonumber
&
= \frac{1}{ 2\omega \sin{\omega t}}
\int du du^{\prime}
\left[
x(u^{\prime})x^{\prime}(u) - x^{\prime}(u)x^{\prime}(u^{\prime})
+ x(u)x(u^{\prime}) - x(u)x^{\prime}(u^{\prime})
\right]
\sin{\omega (t-u)} \sin{\omega u^{\prime}}
\\
&
= \frac{1}{ 2\omega \sin{\omega t}}
\int du du^{\prime}
\sin{\omega (t-u)} \sin{\omega u^{\prime}}
[x(u)+x^{\prime}(u)][x(u^{\prime})-x^{\prime}(u^{\prime})]
\\ \nonumber
C
&
=-\frac{1}{2\omega\sin\omega t}
\int^t_0 du \int^t_0 du^{\prime}
\\ \nonumber
&
\quad\times
\left[
\theta(u-u^{\prime}) \sin\omega(t-u)\sin\omega u^{\prime}
\left[
[x(u)+x^{\prime}(u)][x(u^{\prime})-x^{\prime}(u^{\prime})]
+x(u)x^{\prime}(u^{\prime})-x^{\prime}(u)x(u^{\prime})
\right]
\right.
\\ \nonumber
&
\quad
\left.
+\theta(u^{\prime}-u) \sin\omega(t-u^{\prime})\sin\omega u
\left[
[x(u)+x^{\prime}(u)][x(u^{\prime})-x^{\prime}(u^{\prime})]
+x(u)x^{\prime}(u^{\prime})-x^{\prime}(u)x(u^{\prime})
\right]
\right]
\\ \nonumber
&
=-\frac{1}{2\omega\sin\omega t}
\int^t_0 du \int^t_0 du^{\prime}
\left[
\theta(u-u^{\prime}) \sin\omega(t-u)\sin\omega u^{\prime}
+\theta(u^{\prime}-u) \sin\omega(t-u^{\prime})\sin\omega u
\right]
\\
&
\quad\times
[x(u)+x^{\prime}(u)][x(u^{\prime})-x^{\prime}(u^{\prime})]
\end{align}
となる．
よって
\begin{align}
\nonumber
(\mbox{imaginary term})
&
=A+B+C
\\ \nonumber
&
=\frac{1}{2\omega\sin\omega t}
\int^t_0 du \int^t_0 du^{\prime}
\theta(u^{\prime}-u)
\\ \nonumber
&
\quad\times
\left[
\sin\omega(t-u)\sin\omega u^{\prime}
-\sin\omega(t-u^{\prime})\sin\omega u
\right]
[x(u)+x^{\prime}(u)][x(u^{\prime})-x^{\prime}(u^{\prime})]
\\ \nonumber
&
=\frac{1}{2\omega\sin\omega t}
\int^t_0 du \int^t_0 du^{\prime}
\theta(u^{\prime}-u)
\sin\omega((u^{\prime}-u))\sin\omega t
[x(u)+x^{\prime}(u)][x(u^{\prime})-x^{\prime}(u^{\prime})]
\\
&
=\frac{1}{2\omega}
\int^t_0 du \int^u_0 du^{\prime}
\sin\omega((u-u^{\prime}))
[x(u)-x^{\prime}(u)][x(u^{\prime})+x^{\prime}(u^{\prime})]
\end{align}
となる．
よって,Influence functionalは
\begin{align}
F[x,x^{\prime}] \propto e^{(\mbox{real term})} e^{i(\mbox{imaginary term})}
\end{align}
の形にまとまる.
ここで，expの肩全体を
$i$
でくくって整理すると
\begin{align}
F[x,x^{\prime}] \propto e^{i(W_1 + W_2)}
\end{align}
ただし
\begin{align}
W_1[x,x^{\prime}]
&
= i\sum_{k} \frac{c^2_k}{2 \omega_k}
\int^t_0 du \int^u_0 du^{\prime }
\coth{\left(\frac{\omega_k \beta}{2}\right) } \cos{\omega_k (u-u^{ \prime} )}
[x(u)-x^{\prime} (u)][x(u^{ \prime})-x^{\prime} (u^{ \prime})]
\\
W_2[x,x^{\prime}]
&
= \sum_{k} \frac{c^2_k}{2 \omega_k}
\int^t_0 du \int^u_0 du^{ \prime}
\sin{\omega_k (u-u^{\prime} )}
[x(u)-x^{\prime} (u)][x(u^{ \prime}) + x^{\prime} (u^{\prime})]
\end{align}
である.
したがって，元の話に立ち返るとプロパゲータ
$G$
は
\begin{align}
G_t(x, x^{\prime} ; \bar{x}, \bar{x}^{\prime} )
&=
\int\mathcal{D}x \mathcal{D}x^{\prime}
\exp{i(\mathcal{A}^S\ldk x \rdk - \mathcal{A}^S\ldk x^{\prime} \rdk
+ W_1\ldk x, x^{\prime} \rdk + W_2\ldk x, x^{\prime} \rdk)}
\\
&=
\int\mathcal{D}x \mathcal{D}x^{\prime}
\exp{iW[x, x^{\prime}]}
\end{align}
また
$\exp$
の肩の部分は有効作用として読み取ることができ，
\begin{align}
W\ldk x , x^{\prime} \rdk
&=
\mathcal{A}^S\ldk x \rdk - \mathcal{A}^S\ldk x^{\prime} \rdk
+ W_1\ldk x, x^{\prime} \rdk + W_2\ldk x, x^{\prime} \rdk
\label{effact1}
\end{align}
である．
ここで
$\mathcal{A}^S$
は
\begin{align}
\mathcal{A}^S\ldk x \rdk
&=
\int^t_0{\rm d}u\,
L^S\ldk x(u)\rdk
\label{Sact1}
\end{align}
と表せて，ラグランジアンは
$L^S =\frac{m}{2}\dot{x}^2 - V(x)$
である．
また，境界条件は
$u=0$
の変数に対して
$x(0) = \bar{x},\ x'(0)= \bar{x}'$
であり，
$u=t$
の変数に対して
$x(t)=x, \ x'(t)=x'$
と表している．
よって，換算密度行列は
$G$
の計算結果を代入して
\begin{align}
\rho^S_t(\bm{x}, \bm{x}^{\prime} )
&=
\int_{\bar{x},\bar{x}^{\prime}}
\rho^S _0(\bar{x}, \bar{x}^{\prime})
\int\mathcal{D}x \mathcal{D}x^{\prime}
\exp{iW[x, x^{\prime}]},
\label{system_rho}
\end{align}
と表せる．
環境の座標変数について積分を実行したので，注目系の粒子の座標変数のみで表される．
次に，有効作用を整理して，環境が高温である場合を考える．
有効作用の中で環境の効果を表す影響汎関数からくる部分
$W_1, \, W_2$
はそれぞれ
$x_+(u) = \frac{x(u) +x^{\prime}(u)}{2},\ x_-(u) = x(u) - x^{\prime}(u)$
を使って
\begin{align}
W_1\ldk x, x^{\prime} \rdk
&=
i \int^t_0 {\rm d}u \int^u_0 {\rm d}u^{\prime } \int^{\infty}_0 {\rm d}\omega \,
J(\omega)\, \coth{\frac{\omega \beta}{2} }
\cos{\omega (u-u^{\prime})}\,
{x}_-(u) {x}_-(u^{\prime}),
\\
\label{w1}
\\
W_2\ldk x, x^{\prime} \rdk
&=
2 \int^t_0 {\rm d}u
\int^u_0 {\rm d}u^{\prime}
\int^{\infty}_0 {\rm d}\omega\,
J(\omega)
\sin\omega (u-u^{\prime}) \, {x}_-(u) {x}_+(u^{\prime}),
\label{w2}
\end{align}
と書ける．ここで
\begin{align}
J(\omega)
&=
\sum_k
\frac{c^2_k}{2 \omega_k} \delta (\omega - \omega_k)
\label{SDF}
\end{align}
はspectral densityと呼ばれ，環境の性質を決める．
ここでは簡単のため，Markov的な環境を扱うことにするのでspectral densityはそれに対応するようにOhmicな形で
\begin{align}
J(\omega) = \frac{c\, \omega}{\pi}
\end{align}
とする．
このとき
$W_1$
と
$W_2$
は高温極限で
\begin{align}
W_1\ldk x, x^{\prime} \rdk
&\simeq
ick_BT\int^t_0du x^2_-(u)
\label{w1-2}
\\
W_2\ldk x, x^{\prime} \rdk
&=
-c\int^t_0du\dot{x}_+(u) x_-(u)
+c^{\prime}\int^t_0du x_+(u)x_-(u)
-cx_+(0)x_-(0)
\label{w2-2}
\end{align}
と表せる．
ここで
$c^{\prime}=\sum_k \frac{c^2_k}{\omega^2_k}$
である．
また，(\ref{w2-2})の第2項は注目粒子にはたらくポテンシャルに対するcounter termであり，第3項は運動方程式を考えるときには効かない定数であるので，第1項だけを考慮することにする．
これで環境が注目系に与える効果を計算することができた．
次回はここで得られた結果を用いて，注目系の密度行列が従うマスター方程式を求める．
Caldeira-Leggettモデルでのマスター方程式の導出
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