くりこみ群方程式の導出(Wegner-Houghton 方程式)
くりこみ群変換を計算をする場合,摂動展開がよく用いられる.
しかし実際には摂動展開によってくりこみ群の効果を調べることができない場合も多い.そのような場合には摂動以外の方法が必要になる.このような摂動展開に頼らないくりこみ群の解析は一般に非摂動くりこみ群の方法と呼ばれる.
非摂動くりこみ群には様々な方法があるが,ここではそのひとつとして,Wegner-Houghton方程式を紹介する.まず, 運動量によらない結合定数を持つ実スカラー場の理論を考える.またユークリッド表示のn点グリーン関数の生成汎関数を$Z[J]$とする.
今,理論はカットオフを含み,この生成汎関数はカットオフによらないとすると,
運動量空間での生成汎関数は一般に経路積分表示で
\begin{eqnarray}
Z[J] =
\int \mathcal{D} \phi
\exp \left\{ -S[\phi;\Lambda_0] + \int d^4x J \phi \right\}
\end{eqnarray}
と表される.
ただし$\Lambda_0$は系のカットオフである.
これに新たなカットオフ$\Lambda(t) =\Lambda_0 e^{- t} $を導入して、積分を運動量のhigh modeの領域とlow modeの領域に分ける.ソース部分は省略して書くと
\begin{eqnarray}
Z[J]
&=&
\int \mathcal{D} \phi
\exp \left\{ -S[\phi;\Lambda_0] \right\} \nonumber \\
&=&
\prod_{p \le \Lambda_0}
\int d \phi_p
\exp \left\{ -S[\phi;\Lambda_0] \right\} \nonumber \\
&=&
\prod_{p \le \Lambda } \int d \phi_p
\prod_{ \Lambda < p^{\prime} \le \Lambda_0 } \int d \phi_{p^{\prime} }
\exp \left\{ -S[\phi;\Lambda_0] \right\} \nonumber \\
&=&
\int \mathcal{D} \phi_{\Lambda}
\int \mathcal{D} \phi_s
\exp \left\{ -S[\phi + \phi_s;\Lambda_0] \right\}
\end{eqnarray}
となる.
ただし$ 0< \Lambda < \Lambda_0 $である.
また,この$ \Lambda_0$から
$ \Lambda$までのhigh modeの積分はshell運動量積分と呼ばれ,この運動量を含む場を$\phi_s$とした.
上式の作用を展開すると
\begin{eqnarray}
S[\phi + \phi_s;\Lambda_0]
&=&
S[\phi ;\Lambda_0]
+ \int_{p,shell} \phi (p)
\frac{\delta S}{\delta \phi(p)} \nonumber \\
&+&
\int_{p,shell} \int_{q,shell}
\frac{1}{2} \phi (p)
\frac{\delta^2 S}{\delta \phi (p) \delta \phi (q) } \phi (q) + \cdots
\end{eqnarray}
となる.ここでshell運動量積分を三つ以上含む項は小さいとして無視することにする.よって
\begin{eqnarray}
Z[J]
&=&
\int \mathcal{D} \phi_{\Lambda}
e^{-S[\phi;\Lambda_0]}
\nonumber \\
&\times&
\prod_{ \Lambda < p^{\prime} \le \Lambda_0 } \int d \phi_{p^{\prime} }
\exp \left\{
- \int_{p,shell} \phi (p)
\frac{\delta S}{\delta \phi(p)}
-\int_{p,shell} \int_{q,shell}
\frac{1}{2} \phi (p)
\frac{\delta^2 S}{\delta \phi (p) \delta \phi (q) } \phi (q)
\right\}
\nonumber \\
&=&
\int \mathcal{D} \phi_{\Lambda}
e^{-S_{eff}[\phi;\Lambda]}
\end{eqnarray}
と表せる.このようなhigh modeの運動量の自由度を積分して消去することによって得られる作用をWilson有効作用と呼ぶ.
以下で実際に積分を実行する.ここでshell運動量積分は
\begin{eqnarray}
J(p)
&=&
\frac{\delta S}{\delta \phi(p)}
\\
M_{pq}
&=&
\frac{\delta^2 S}{\delta \phi (p) \delta \phi (q) }
\end{eqnarray}
とおくと,
質点の場合に成り立つガウス積分の公式
\begin{eqnarray}
\prod^n_{k=1}
\int^{\infty}_{\infty} \frac{d x_k}{\sqrt{2\pi}} \exp \left[-
\frac{1}{2} x^T M x -J x
\right]
=
\frac{1}{\sqrt{ \mathrm{det} M}}
\exp \left[
\frac{1}{2} J^T M^{-1} J
\right]
\end{eqnarray}
を今の場合に拡張して用いて
\begin{eqnarray}
\prod_{ \Lambda < p^{\prime} \le \Lambda_0 } & \int & d \phi_{p^{\prime} }
\exp \left\{
- \int_{p,shell} \phi (p) \frac{\delta S}{\delta \phi(p)}
-\int_{p,shell} \int_{q,shell}
\frac{1}{2} \phi (p) \frac{\delta^2 S}{\delta \phi (p) \delta \phi (q) } \phi (q)
\right\}
\nonumber \\
&=&
\prod_{ \Lambda < p^{\prime} \le \Lambda_0 } \int d \phi_{p^{\prime} }
\exp \left\{
- \int_{p,shell} \phi (p) J(p)
-\int_{p,shell} \int_{q,shell}
\frac{1}{2} \phi (p) M_{pq} \phi (q)
\right\}
\nonumber
\\
&=&
\frac{1}{\sqrt{\mathrm{det} M}}
\exp \left[
\frac{1}{2} \int_{p,shell} \int_{q,shell} J(p) M_{pq} ^{-1} J(q)
\right]
\nonumber \\
&=&
( \mathrm{det} M )^{-\frac{1}{2}}
\exp \left[
\frac{1}{2}
\int_{p,shell} \int_{q,shell}
J(p) M_{pq} ^{-1} J(q)
\right] \nonumber
\\
&=&
e^{-\frac{1}{2} \ln \mathrm{det} M }
\exp \left[
\frac{1}{2}
\int_{p,shell} \int_{q,shell}
J(p) M_{pq} ^{-1} J(q)
\right]
\nonumber
\\
&=&
e^{-\frac{1}{2} \mathrm{tr} \ln M }
\exp \left[
\frac{1}{2}
\int_{p,shell} \int_{q,shell}
J(p) M_{pq} ^{-1} J(q)
\right]
\nonumber \\
&=&
\exp
\left[
-\frac{1}{2} \int_{p,shell}
\mathrm{tr} \ln
\left[
\frac{\delta^2 S}{\delta \phi (p) \delta \phi (-p) }
\right]
\right]
\exp
\left[
\frac{1}{2}
\int_{p,shell}
\frac{\delta S}{\delta \phi(p)}
\left[
\frac{\delta^2 S}{\delta \phi (p) \delta \phi (-p) }
\right] ^{-1}
\frac{\delta S}{\delta \phi(-p)}
\right]
\nonumber \\
\end{eqnarray}
となる.ただし,ある行列Mに対して成り立つ関係式
\begin{eqnarray}
\ln \mathrm{det} M= \mathrm{tr} \ln M
\end{eqnarray}
を用いた.
今の場合$Z[J]$はカットオフによらないので上式と
$\Lambda(t)$によって定義された
\begin{eqnarray}
Z[J]=\int \mathcal{D} \phi_{\Lambda} e^{-S[\phi;\Lambda(t)]}
\end{eqnarray}
は等しいはずなので,二つの式を比べると
\begin{eqnarray}
S[\phi;\Lambda(t)]
&=&
S[\phi;\Lambda_0]
+\frac{1}{2} \int_{p,shell}
\mathrm{tr} \ln
\left[
\frac{\delta^2 S}{\delta \phi (p) \delta \phi (-p) }
\right]
- \frac{1}{2} \int_{p,shell}
\frac{\delta S}{\delta \phi(p)}
\left[
\frac{\delta^2 S}{\delta \phi (p) \delta \phi (-p) }
\right] ^{-1}
\frac{\delta S}{\delta \phi(-p)}
\nonumber \\
S[\phi;\Lambda(t)] - S[\phi;\Lambda_0]
&=&
\frac{1}{2} \int_{p,shell}
\mathrm{tr} \ln
\left[
\frac{\delta^2 S}{\delta \phi (p) \delta \phi (-p) }
\right]
- \frac{1}{2} \int_{p,shell}
\frac{\delta S}{\delta \phi(p)}
\left[
\frac{\delta^2 S}{\delta \phi (p) \delta \phi (-p) }
\right] ^{-1}
\frac{\delta S}{\delta \phi(-p)}
\nonumber \\
-\frac{dS[\phi;\Lambda_0]}{dt} \delta t
&=&
\frac{1}{2} \int_{p,shell}
\mathrm{tr} \ln
\left[
\frac{\delta^2 S}{\delta \phi (p) \delta \phi (-p) }
\right]
- \frac{1}{2} \int_{p,shell}
\frac{\delta S}{\delta \phi(p)}
\left[
\frac{\delta^2 S}{\delta \phi (p) \delta \phi (-p) }
\right] ^{-1}
\frac{\delta S}{\delta \phi(-p)}
\nonumber \\
\frac{dS[\phi;\Lambda_0]}{dt}
&=&
-\frac{1}{\delta t}
\frac{1}{2} \int_{p,shell}
\left[
\mathrm{tr} \ln
\left[
\frac{\delta^2 S}{\delta \phi (p) \delta \phi (-p) }
\right]
- \frac{\delta S}{\delta \phi(p)}
\left[
\frac{\delta^2 S}{\delta \phi (p) \delta \phi (-p) }
\right] ^{-1}
\frac{\delta S}{\delta \phi(-p)}
\right]
\nonumber \\
\end{eqnarray}
となる.ただしtが小さいとして$\delta t$とおいた.
この方程式は作用のスケール依存性を表し，Wegner-Houghton方程式と呼ばれる.
ただしこのW-H方程式を扱う場合は一般的なくりこみ群変換に見られるリスケールの操作は入っていないので注意が必要である.
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