SU(2)の測度
スピン系の経路積分はスピンコヒーレント状態で表せる．積分を定義するには測度を定義する必要があるが，ここではスピン空間でどのように測度を定義するかを考える．
スピン$\frac{1}{2}$の代数はSU(2)で表されるので,このとき
$a,b,c,d$を複素数として
SU(2)の元を
\begin{align}
U = \left(
\begin{array}{rr}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)
\end{align}
とするとユニタリ性と$ detU =1$から
\begin{align}
ad - bc &= - \frac{b}{c^*} , \\
ad - bc &= \frac{a}{d^*} , \\
ad - bc &= 1
\end{align}
が得られるので,
$b = - c^*,\, a = d^*$
となる.よって
\begin{align}
U = \left(
\begin{array}{rr}
a & b \\
-b^* & a^*
\end{array}
\right)
\end{align}
と表せる.
ここで4次元空間の中の3次元単位球面の集合$S^3$
\begin{align}
S^3 = \{(x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) | x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1\}
\end{align}
に対して写像$f:S^3 \rightarrow SU(2)$を
\begin{align}
f(x_1 , x_2 , x_3 , x_4) =
\left(
\begin{array}{rr}
-ix_3 + x_4 & -x_1 -i x_2 \\
x_1 -i x_2 & ix_3 + x_4
\end{array}
\right)
\end{align}
と定義するとこの$f$は同相写像になっているので,$S^3$
と$SU(2)$は同相である.
この$S^3$の元をパラメータ表示することを考える.例えば,
$0 \leq \theta \leq \pi $ ,
$0 \leq \phi \leq 2\pi$ ,
$0 \leq \psi \leq 4 \pi$
として
\begin{align}
x_1 &= \sin{\theta /2} \cos{(\phi - \psi)/2} \\
x_2 &= -\sin{\theta /2} \sin{(\phi - \psi)/2} \\
x_3 &= \cos{\theta /2} \sin{(\phi + \psi)/2} \\
x_4 &= \cos{\theta /2} \cos{(\phi + \psi)/2}
\end{align}
と表せる.
このとき
$SU(2)$の元は
\begin{align}
U
&= \left(
\begin{array}{rr}
e^{-i(\phi+\psi)/2} \cos{\theta /2} & -e^{-i(\phi-\psi)/2} \sin{\theta /2} \\
e^{i(\phi-\psi)/2} \sin{\theta /2} & e^{i(\phi+\psi)/2} \cos{\theta /2}
\end{array}
\right)
\\
&= U_3(\phi) U_2 (\theta) U_3 (\psi)
\end{align}
となる.ここでPauli行列を用いて$U_i (\theta) = e^{-i\theta \sigma_i/2}$とした．
ここで,$(x_1,x_2,x_3,x_4)$から三つのベクトルを作る.
\begin{align}
{\rm d} \bm{y}_1
&=
\left(
\begin{array}{rrrr}
\frac{{\rm d}x_1}{{\rm d} \theta}, & \frac{{\rm d}x_2}{{\rm d} \theta},
& \frac{{\rm d}x_3}{{\rm d}\theta}, & \frac{{\rm d}x_4}{{\rm d}\theta}
\end{array}
\right) {\rm d} \theta
\\
&
\frac{{\rm d}x_1}{{\rm d} \theta}
=
\frac{1}{2}
\cos\theta/2\cos(\phi-\psi)/2
\\
&
\frac{{\rm d}x_2}{{\rm d} \theta}
=
-\frac{1}{2}
\cos\theta/2\sin(\phi-\psi)/2
\\
&
\frac{{\rm d}x_3}{{\rm d} \theta}
=
-\frac{1}{2}
\sin\theta/2\sin(\phi+\psi)/2
\\
&
\frac{{\rm d}x_4}{{\rm d} \theta}
=
-\frac{1}{2}
\sin\theta/2\cos(\phi+\psi)/2
\\
{\rm d} \bm{y}_2
&=
\left(
\begin{array}{rrrr}
\frac{{\rm d}x_1}{{\rm d} \phi}, & \frac{{\rm d}x_2}{{\rm d} \phi},
& \frac{{\rm d}x_3}{{\rm d}\phi}, & \frac{{\rm d}x_4}{{\rm d}\phi}
\end{array}
\right) {\rm d} \phi
\\
&
\frac{{\rm d}x_1}{{\rm d} \phi}
=
-\frac{1}{2}
\sin\theta/2\sin(\phi-\psi)/2
\\
&
\frac{{\rm d}x_2}{{\rm d} \phi}
=
-\frac{1}{2}
\sin\theta/2\cos(\phi-\psi)/2
\\
&
\frac{{\rm d}x_3}{{\rm d} \phi}
=
\frac{1}{2}
\cos\theta/2\cos(\phi+\psi)/2
\\
&
\frac{{\rm d}x_4}{{\rm d} \phi}
=
-\frac{1}{2}
\cos\theta/2\sin(\phi+\psi)/2
\\
{\rm d} \bm{y}_3
&=
\left(
\begin{array}{rrrr}
\frac{{\rm d}x_1}{{\rm d} \psi}, & \frac{{\rm d}x_2}{{\rm d} \psi},
& \frac{{\rm d}x_3}{{\rm d}\psi}, & \frac{{\rm d}x_4}{{\rm d}\psi}
\end{array}
\right) {\rm d} \psi
\\
&
\frac{{\rm d}x_1}{{\rm d} \psi}
=
\frac{1}{2}
\sin\theta/2\sin(\phi-\psi)/2
\\
&
\frac{{\rm d}x_2}{{\rm d} \psi}
=
\frac{1}{2}
\sin\theta/2\cos(\phi-\psi)/2
\\
&
\frac{{\rm d}x_3}{{\rm d} \psi}
=
\frac{1}{2}
\cos\theta/2\cos(\phi+\psi)/2
\\
&
\frac{{\rm d}x_4}{{\rm d} \psi}
=
-\frac{1}{2}
\cos\theta/2\sin(\phi+\psi)/2
\end{align}
これらのベクトルを使って微小面積素を求めると,
\begin{align}
{\rm d}\bm{y}_1\wedge{\rm d}\bm{y}_2\wedge{\rm d}\bm{y}_3
&
=
\begin{vmatrix}
\bm{e}_1 & \bm{e}_2 & \bm{e}_3 & \bm{e}_4 \\
{\rm d}y_{1,1} & {\rm d}y_{1,2} & {\rm d}y_{1,3} & {\rm d}y_{1,4} \\
{\rm d}y_{2,1} & {\rm d}y_{2,2} & {\rm d}y_{2,3} & {\rm d}y_{2,4} \\
{\rm d}y_{3,1} & {\rm d}y_{3,2} & {\rm d}y_{3,3} & {\rm d}y_{3,4}
\end{vmatrix}
\\
&=\frac{1}{8}\sin\theta
\begin{pmatrix}
\sin\theta/2\cos(\phi-\psi)/2 \\
-\sin\theta/2\sin(\phi-\psi)/2 \\
\cos\theta/2\sin(\phi+\psi)/2 \\
\cos\theta/2\cos(\phi+\psi)/2
\end{pmatrix}
{\rm d}\theta {\rm d}\phi {\rm d}\psi
\end{align}
となるのでその大きさは$\frac{1}{8}\sin\theta{\rm d}\theta {\rm d}\phi {\rm d}\psi$となる．
今，$SU(2)$の元は
$S^3$の元で表されているので例えば二つの元を$g,h \in SU(2)$とすると，変換
$g^{\prime}=hg\in SU(2)$は
$S^3$という球面上での回転を表す.
上で考えた微小面積素は回転に対して不変なのでこれをHaar不変測度として不変積分を定義する.
今，大きさ$1$の4次元球面を考えているので，その表面積は$2\pi^2$となる．
上で定義した測度を全空間にわたって積分すると
\begin{align}
\nonumber
\frac{1}{8} \int^{\pi}_0 \sin\theta{\rm d}\theta \int^{2\pi}_0 {\rm d}\phi \int^{4\pi}_0 {\rm d}\psi &= 2\pi^2
\end{align}
となって確かに4次元球の表面積と一致する．
この測度を$\int_{S^3}{\rm d} g\ket{g}\bra{g}=I$を満たすように規格化したい（$\ket{g}=U\ket{+1}$）．左辺を計算すると
\begin{align}
\int_{S^3} dg \ket{g}\bra{g}
&
=\frac{1}{8} \int^{\pi}_0 \sin\theta{\rm d}\theta \int^{2\pi}_0{\rm d}\phi \int^{4\pi}_0{\rm d}\psi
\begin{pmatrix}
\cos^2\theta/2 & e^{-i\phi} \sin\theta/2\cos\theta/2 \\
e^{i\phi} \sin\theta/2\cos\theta/2 & \sin^2\theta/2
\end{pmatrix}
\\
&
=\pi^2 I
\end{align}
となるので経路積分表示に使う場合は
\begin{align}
{\rm d} g=\frac{1}{8\pi^2} \sin\theta {\rm d}\theta {\rm d}\phi {\rm d}\psi
\end{align}
としておく．
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