スピン系の経路積分
スピン系の経路積分はスピンコヒーレント状態を使って表すことができる．スピンの固有状態を使わない理由は，経路積分を構成するために連続的な表現がほしいからである．以下ではまずスピンコヒーレント状態について説明する．
スピンコヒーレント状態$\ket{g}$は以下の性質を示す．
\begin{align}
\int_{\mathrm{SU}(2)} \ket{g}\bra{g}
&=
a \mathrm{I} ,\ (a=\mathrm{const.} )
\end{align}
またスピンコヒーレント状態によるスピンの期待値$\bm{n}=\bra{g}s\ket{g}$を計算する． Campbell-Baker-Hausdorffの公式を使って
\begin{align}
\nonumber
e^{-i\phi s_i} s_j e^{i\phi s_i}
&= s_j -i \phi [s_i,s_j] + \frac{1}{2} (-i\phi)^2 [s_i[s_i,s_j]]+ \cdots \\
\nonumber
&= s_j -i\phi (i \epsilon_{ijm}s_m)+ \frac{1}{2} (-i\phi)^2 (-\epsilon_{ijm}\epsilon_{iml}s_l) +\cdots \\
\nonumber
&= s_j -i\phi (i \epsilon_{ijm}s_m)+ \frac{1}{2} (-i\phi)^2 (\delta_{jl} s_l) +\cdots \\
&= s_j \cos{\phi} + \epsilon_{ijm} s_m \sin{\phi}
\end{align}
という関係が得られる．ただし,角運動量の交換関係$ [s_i,s_j] = i \epsilon_{ijk} s_k $を使った． これより
\begin{align}
\nonumber
n_i &= \bra{g(t)} s_i \ket{g(t)} \\
\nonumber
&= \bra{\uparrow} e^{i \psi s_3} e^{i \theta s_2} e^{i \phi s_3} s_i e^{-i \phi s_3} e^{-i \theta s_2} e^{-i \psi s_3} \ket{\uparrow} \\
\nonumber
&= \bra{\uparrow} e^{i \theta s_2} e^{i \phi s_3} s_i e^{-i \phi s_3} e^{-i \theta s_2} \ket{\uparrow} \\
\nonumber
&= \bra{\uparrow} e^{i \theta s_2} ( s_i \cos \phi - \epsilon_{3ik} s_k \sin \phi ) e^{-i \theta s_2} \ket{\uparrow} \\
\nonumber
&= \bra{\uparrow} e^{i \theta s_2} s_i e^{-i \theta s_2} \ket{\uparrow} \cos \phi
- \bra{\uparrow} e^{i \theta s_2} s_k e^{-i \theta s_2} \ket{\uparrow} \epsilon_{3ik} \sin \phi \\
\nonumber
&= \bra{\uparrow} ( s_i \cos \theta - \epsilon_{2ik^{\prime}} \sin s_{k^{\prime}} \theta ) \ket{\uparrow} \cos \phi
- \bra{\uparrow} ( s_k \cos \theta - \epsilon_{2kk^{\prime}} s_{k^{\prime}} \sin \theta ) \ket{\uparrow} \epsilon_{3ik} \sin \phi \\
\nonumber
&= \bra{\uparrow} s_i \ket{\uparrow} \cos \theta \cos \phi
- \bra{\uparrow} s_{k^{\prime}} \ket{\uparrow} \epsilon_{2ik^{\prime}} \sin \theta \cos \phi \\
&\quad - \bra{\uparrow} s_k \ket{\uparrow} \epsilon_{3ik} \cos \theta \sin \phi
+ \bra{\uparrow} s_{k^{\prime}} \ket{\uparrow} \epsilon_{2kk^{\prime}} \epsilon_{3ik} \sin \theta \sin \phi
\end{align}
となるので,それぞれの成分を計算すると
\begin{align}
\nonumber
n_1 &= \bra{\uparrow} s_1 \ket{\uparrow} \cos \theta \cos \phi
- \bra{\uparrow} s_{k^{\prime}} \ket{\uparrow} \epsilon_{21k^{\prime}} \sin \theta \cos \phi \\
\nonumber
&\quad - \bra{\uparrow} s_k \ket{\uparrow} \epsilon_{31k} \cos \theta \sin \phi
+ \bra{\uparrow} s_{k^{\prime}} \ket{\uparrow} \epsilon_{2kk^{\prime}}
\epsilon_{31k} \sin \theta \sin \phi \\
\nonumber
&= - \bra{\uparrow} s_3 \ket{\uparrow} \epsilon_{213} \sin \theta \cos \phi \\
&= \frac{1}{2} \sin \theta \cos \phi \\
\nonumber
n_2 &= \bra{\uparrow} s_2 \ket{\uparrow} \cos \theta \cos \phi
- \bra{\uparrow} s_{k^{\prime}} \ket{\uparrow} \epsilon_{22k^{\prime}} \sin \theta \cos \phi \\
\nonumber
&\quad - \bra{\uparrow} s_k \ket{\uparrow} \epsilon_{32k} \cos \theta \sin \phi
+ \bra{\uparrow} s_{k^{\prime}} \ket{\uparrow} \epsilon_{2kk^{\prime}}
\epsilon_{32k} \sin \theta \sin \phi \\
\nonumber
&= \bra{\uparrow} s_3 \ket{\uparrow} \epsilon_{213 \epsilon_{321}} \sin \theta \sin \phi \\
&= \frac{1}{2} \sin \theta \sin \phi \\
\nonumber
n_3 &= \bra{\uparrow} e^{i \psi s_3} e^{i \theta s_2} e^{i \phi s_3} s_3 e^{-i \phi s_3} e^{-i \theta s_2} e^{-i \psi s_3} \ket{\uparrow} \\
\nonumber
&= \bra{\uparrow} e^{i \theta s_2} s_3 e^{-i \theta s_2} \ket{\uparrow} \\
\nonumber
&= \bra{\uparrow} ( s_3 \cos \theta + \epsilon_{231} s_1 \sin \theta ) \ket{\uparrow} \\
\nonumber
&=\frac{1}{2} \cos \theta
\end{align}
となる．よって,まとめると
\begin{align}
\bm{n} = \frac{1}{2} ( \sin \theta \cos \phi , \sin \theta \sin \phi , \cos \theta )
\end{align}
と書けるので，この$\bm{n}$の運動は大きさ$1/2$のベクトルがつくる球面上の運動に相当する．
次に経路積分表示する際に現れる$\braket{\partial_t g|g}$を計算しておく．
\begin{align}
\nonumber
\braket{\partial_t g|g} &= \bra{\uparrow} (\partial_t g)^{\dagger} g \ket{\uparrow} \\
\nonumber
&= \bra{\uparrow} ( \partial_t( e^{-i\phi s_3} e^{-i\theta s_2} e^{-i\psi s_3} ) )^{\dagger} g \ket{\uparrow} \\
\nonumber
&= \bra{\uparrow} ( -i\partial_t \phi s_3 g )^{\dagger} g \ket{\uparrow}
+ \bra{\uparrow} (e^{-i\phi s_3} (-i\partial_t \theta s_2) e^{-i\theta s_2} e^{-i\psi s_3} )^{\dagger} g \ket{\uparrow} \\
&\quad + \bra{\uparrow} ( e^{-i\phi s_3} e^{-i\theta s_2} (-i\partial_t \psi s_3) e^{-i\psi s_3} )^{\dagger} g \ket{\uparrow}
\end{align}
となるのでそれぞれの項を計算すると
\begin{align}
\nonumber
(\mbox{1st term}) &= \bra{\uparrow} ( -i\partial_t \phi s_3 g )^{\dagger} g \ket{\uparrow} \\
\nonumber
&= i(\partial_t \phi) \bra{\uparrow} g^{\dagger} s_3 g \ket{\uparrow} \\
&= i(\partial_t \phi) \frac{1}{2} \cos \theta \\
\nonumber
(\mbox{2nd term}) & =\bra{\uparrow} [e^{-i\phi s_3} (-i\partial_t \theta s_2) e^{-i\theta s_2} e^{-i\psi s_3} ]^{\dagger} g \ket{\uparrow} \\
\nonumber
&= i(\partial_t \theta) \bra{\uparrow} e^{i\theta s_2} s_2 e^{i\phi s_3} e^{-i\phi s_3} e^{-i\theta s_2} \ket{\uparrow} \\
\nonumber
&= i (\partial_t \theta) \bra{\uparrow} s_2 \ket{\uparrow} \\
&= 0 \\
\nonumber
(\mbox{3rd term}) &= \bra{\uparrow} [e^{-i\phi s_3} e^{-i\theta s_2} (-i\partial_t \psi s_3) e^{-i\psi s_3} ]^{\dagger} g \ket{\uparrow} \\
\nonumber
&= i(\partial_t \psi) \bra{\uparrow} s_3 e^{i\theta s_2} e^{i\phi s_3} e^{-i\phi s_3} e^{-i\theta s_2} \ket{\uparrow} \\
&= \frac{i}{2} \partial_t \psi
\end{align}
となる．まとめると
\begin{align}
\braket{\partial_t g|g} = \frac{i}{2} [ (\partial_t \phi) \cos \theta + \partial_t \psi ]
\end{align}
と表せる．
次に具体的なスピン系を考えて，遷移振幅の経路積分表示をする．簡単のために磁場中の$1/2$スピン系$H=\bm{s}\cdot\bm{B}$を考える．ここで磁場は$\bm{B}=(0,0,B)$であるとする．したがってスピンの量子化軸は$z$方向である． 遷移振幅を
\begin{align}
K(g,\bar{g};t,0)
&=
\bra{g}e^{-iHt}\ket{\bar{g}}
\end{align}
としてスピンコヒーレント状態の完全性を使って経路積分表示すると
\begin{align}
K(g,\bar{g};t,0)
&=
\int\mathcal{D}g
\exp{
\ltk
-i\int^t_0 du
\ltk
\bm{n}(s)\cdot{B}
+ \frac{1}{2}
\ldk
\dot{\phi}(u) \cos \theta(u)
+ \dot{\psi}(u)
\rdk
\rtk
\rtk
}
\end{align}
となる． ここで境界条件を$\bar{g}=g(0),\, g=g(t)$とした．
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