スピン系の経路積分

スピン系の経路積分はスピンコヒーレント状態を使って表すことができる．スピンの固有状態を使わない理由は，経路積分を構成するために連続的な表現がほしいからである．以下ではまずスピンコヒーレント状態について説明する．

スピンコヒーレント状態 $| g ⟩$ は以下の性質を示す．

\begin{aligned} (1) & \int_{SU (2)} | g ⟩ ⟨ g | & = a I, (a = const .) \end{aligned}

またスピンコヒーレント状態によるスピンの期待値 $n = ⟨ g | s | g ⟩$ を計算する． Campbell-Baker-Hausdorffの公式を使って

\begin{aligned} e^{- i ϕ s_{i}} s_{j} e^{i ϕ s_{i}} & = s_{j} - i ϕ [s_{i}, s_{j}] + \frac{1}{2} (- i ϕ)^{2} [s_{i} [s_{i}, s_{j}]] + \dots \\ = s_{j} - i ϕ (i ϵ_{i j m} s_{m}) + \frac{1}{2} (- i ϕ)^{2} (- ϵ_{i j m} ϵ_{i m l} s_{l}) + \dots \\ = s_{j} - i ϕ (i ϵ_{i j m} s_{m}) + \frac{1}{2} (- i ϕ)^{2} (δ_{j l} s_{l}) + \dots \\ (2) & = s_{j} \cos ϕ + ϵ_{i j m} s_{m} \sin ϕ \end{aligned}

という関係が得られる．ただし,角運動量の交換関係 $[s_{i}, s_{j}] = i ϵ_{i j k} s_{k}$ を使った．これより

\begin{aligned} n_{i} & = ⟨ g (t) | s_{i} | g (t) ⟩ \\ = ⟨ ↑ | e^{i ψ s_{3}} e^{i θ s_{2}} e^{i ϕ s_{3}} s_{i} e^{- i ϕ s_{3}} e^{- i θ s_{2}} e^{- i ψ s_{3}} | ↑ ⟩ \\ = ⟨ ↑ | e^{i θ s_{2}} e^{i ϕ s_{3}} s_{i} e^{- i ϕ s_{3}} e^{- i θ s_{2}} | ↑ ⟩ \\ = ⟨ ↑ | e^{i θ s_{2}} (s_{i} \cos ϕ - ϵ_{3 i k} s_{k} \sin ϕ) e^{- i θ s_{2}} | ↑ ⟩ \\ = ⟨ ↑ | e^{i θ s_{2}} s_{i} e^{- i θ s_{2}} | ↑ ⟩ \cos ϕ - ⟨ ↑ | e^{i θ s_{2}} s_{k} e^{- i θ s_{2}} | ↑ ⟩ ϵ_{3 i k} \sin ϕ \\ = ⟨ ↑ | (s_{i} \cos θ - ϵ_{2 i k^{'}} \sin s_{k^{'}} θ) | ↑ ⟩ \cos ϕ - ⟨ ↑ | (s_{k} \cos θ - ϵ_{2 k k^{'}} s_{k^{'}} \sin θ) | ↑ ⟩ ϵ_{3 i k} \sin ϕ \\ = ⟨ ↑ | s_{i} | ↑ ⟩ \cos θ \cos ϕ - ⟨ ↑ | s_{k^{'}} | ↑ ⟩ ϵ_{2 i k^{'}} \sin θ \cos ϕ \\ (3) & - ⟨ ↑ | s_{k} | ↑ ⟩ ϵ_{3 i k} \cos θ \sin ϕ + ⟨ ↑ | s_{k^{'}} | ↑ ⟩ ϵ_{2 k k^{'}} ϵ_{3 i k} \sin θ \sin ϕ \end{aligned}

となるので,それぞれの成分を計算すると

\begin{aligned} n_{1} & = ⟨ ↑ | s_{1} | ↑ ⟩ \cos θ \cos ϕ - ⟨ ↑ | s_{k^{'}} | ↑ ⟩ ϵ_{21 k^{'}} \sin θ \cos ϕ \\ - ⟨ ↑ | s_{k} | ↑ ⟩ ϵ_{31 k} \cos θ \sin ϕ + ⟨ ↑ | s_{k^{'}} | ↑ ⟩ ϵ_{2 k k^{'}} ϵ_{31 k} \sin θ \sin ϕ \\ = - ⟨ ↑ | s_{3} | ↑ ⟩ ϵ_{213} \sin θ \cos ϕ \\ (4) & = \frac{1}{2} \sin θ \cos ϕ \\ n_{2} & = ⟨ ↑ | s_{2} | ↑ ⟩ \cos θ \cos ϕ - ⟨ ↑ | s_{k^{'}} | ↑ ⟩ ϵ_{22 k^{'}} \sin θ \cos ϕ \\ - ⟨ ↑ | s_{k} | ↑ ⟩ ϵ_{32 k} \cos θ \sin ϕ + ⟨ ↑ | s_{k^{'}} | ↑ ⟩ ϵ_{2 k k^{'}} ϵ_{32 k} \sin θ \sin ϕ \\ = ⟨ ↑ | s_{3} | ↑ ⟩ ϵ_{213 ϵ_{321}} \sin θ \sin ϕ \\ (5) & = \frac{1}{2} \sin θ \sin ϕ \\ n_{3} & = ⟨ ↑ | e^{i ψ s_{3}} e^{i θ s_{2}} e^{i ϕ s_{3}} s_{3} e^{- i ϕ s_{3}} e^{- i θ s_{2}} e^{- i ψ s_{3}} | ↑ ⟩ \\ = ⟨ ↑ | e^{i θ s_{2}} s_{3} e^{- i θ s_{2}} | ↑ ⟩ \\ = ⟨ ↑ | (s_{3} \cos θ + ϵ_{231} s_{1} \sin θ) | ↑ ⟩ \\ = \frac{1}{2} \cos θ \end{aligned}

となる．よって,まとめると

\begin{array}{r} (6) & n = \frac{1}{2} (\sin θ \cos ϕ, \sin θ \sin ϕ, \cos θ) \end{array}

と書けるので，この $n$ の運動は大きさ $1 / 2$ のベクトルがつくる球面上の運動に相当する．

次に経路積分表示する際に現れる $⟨ \partial_{t} g | g ⟩$ を計算しておく．

\begin{aligned} ⟨ \partial_{t} g | g ⟩ & = ⟨ ↑ | (\partial_{t} g)^{†} g | ↑ ⟩ \\ = ⟨ ↑ | (\partial_{t} (e^{- i ϕ s_{3}} e^{- i θ s_{2}} e^{- i ψ s_{3}}))^{†} g | ↑ ⟩ \\ = ⟨ ↑ | (- i \partial_{t} ϕ s_{3} g)^{†} g | ↑ ⟩ + ⟨ ↑ | (e^{- i ϕ s_{3}} (- i \partial_{t} θ s_{2}) e^{- i θ s_{2}} e^{- i ψ s_{3}})^{†} g | ↑ ⟩ \\ (7) & + ⟨ ↑ | (e^{- i ϕ s_{3}} e^{- i θ s_{2}} (- i \partial_{t} ψ s_{3}) e^{- i ψ s_{3}})^{†} g | ↑ ⟩ \end{aligned}

となるのでそれぞれの項を計算すると

\begin{aligned} (1st term) & = ⟨ ↑ | (- i \partial_{t} ϕ s_{3} g)^{†} g | ↑ ⟩ \\ = i (\partial_{t} ϕ) ⟨ ↑ | g^{†} s_{3} g | ↑ ⟩ \\ (8) & = i (\partial_{t} ϕ) \frac{1}{2} \cos θ \\ (2nd term) & = ⟨ ↑ | [e^{- i ϕ s_{3}} (- i \partial_{t} θ s_{2}) e^{- i θ s_{2}} e^{- i ψ s_{3}}]^{†} g | ↑ ⟩ \\ = i (\partial_{t} θ) ⟨ ↑ | e^{i θ s_{2}} s_{2} e^{i ϕ s_{3}} e^{- i ϕ s_{3}} e^{- i θ s_{2}} | ↑ ⟩ \\ = i (\partial_{t} θ) ⟨ ↑ | s_{2} | ↑ ⟩ \\ (9) & = 0 \\ (3rd term) & = ⟨ ↑ | [e^{- i ϕ s_{3}} e^{- i θ s_{2}} (- i \partial_{t} ψ s_{3}) e^{- i ψ s_{3}}]^{†} g | ↑ ⟩ \\ = i (\partial_{t} ψ) ⟨ ↑ | s_{3} e^{i θ s_{2}} e^{i ϕ s_{3}} e^{- i ϕ s_{3}} e^{- i θ s_{2}} | ↑ ⟩ \\ (10) & = \frac{i}{2} \partial_{t} ψ \end{aligned}

となる．まとめると

\begin{array}{r} (11) & ⟨ \partial_{t} g | g ⟩ = \frac{i}{2} [(\partial_{t} ϕ) \cos θ + \partial_{t} ψ] \end{array}

と表せる．

次に具体的なスピン系を考えて，遷移振幅の経路積分表示をする．簡単のために磁場中の $1 / 2$ スピン系 $H = s \cdot B$ を考える．ここで磁場は $B = (0, 0, B)$ であるとする．したがってスピンの量子化軸は $z$ 方向である．遷移振幅を

\begin{aligned} (12) & K (g, \bar{g}; t, 0) & = ⟨ g | e^{- i H t} | \bar{g} ⟩ \end{aligned}

としてスピンコヒーレント状態の完全性を使って経路積分表示すると

\begin{aligned} (13) & K (g, \bar{g}; t, 0) & = \int D g \exp {- i \int_{0}^{t} d u {n (s) \cdot B + \frac{1}{2} [\dot{ϕ} (u) \cos θ (u) + \dot{ψ} (u)]}} \end{aligned}

となる．ここで境界条件を $\bar{g} = g (0), g = g (t)$ とした．

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