スピン軌道相互作用の導出
スピン軌道相互作用を導くために電磁場中のディラック方程式を考えて非相対論的極限をとることを考える．
この時のディラック方程式は
\begin{align}
i \hbar \partial_t \psi (\bm{x},t)
&=
H \psi (\bm{x},t)
\\
H
&=
c
\bm{\alpha} \cdot (\bm{p} + e \bm{A}(\bm{x}))
+ \beta m c^2 -e \phi(\bm{x})
\end{align}
である．
ここで$\phi(\bm{x}),\ \bm{A}(\bm{x})$はそれぞれスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルであり，$e$は電子の電荷である．
この方程式は4成分だが，非相対論的にするためには2成分の方程式を作りたい．
自由粒子の場合は適切なユニタリー変換（Foldy-Wouthuysen変換）によって実行可能であるが，今のハミルトニアンをみると$\bm{\alpha}$が非対角要素をもつために$\psi$の上2成分と下2成分が混ざってしまうので，直接にはできない．
なので非相対論的極限($mc^2\gg \bm{p}c$)を考慮したうえで，逐次的にハミルトニアンをユニタリー変換してブロック対角化することによって，簡単な形にもっていきたい．
まず元のディラック方程式
$i\partial_t \psi_t = H \psi_t$
に対してハミルトニアンをブロック対角化するようなユニタリー変換$\psi^{\prime}_t = U_t \psi_t$を考えると
\begin{align}
i \hbar \partial_t \psi_t
&=
H \psi_t
\\
i \hbar \partial_t (U^{-1}_t \psi^{\prime}_t )
&=
H (U^{-1}_t \psi^{\prime}_t)
\\
i \hbar (\partial_t U^{-1}_t) \psi_t
+ i \hbar U^{-1}_t \partial_t \psi^{\prime}_t
&=
H (U^{-1}_t \psi^{\prime}_t)
\end{align}
となるので両辺に左からUをかけると，変換後の方程式は
\begin{align}
i \hbar U (\partial_t U^{-1}_t) \psi_t
+ i \hbar \partial_t \psi^{\prime}_t
&=
U H (U^{-1}_t \psi^{\prime}_t)
\nonumber
\\
i \hbar \partial_t \psi^{\prime}_t
&=
\ltk
U_tHU^{-1}_t - i \hbar (U_t \partial_t U^{-1}_t)
\rtk
\psi^{\prime}_t
\nonumber
\\
&=
H^{\prime} \psi^{\prime}_t
\end{align}
となる．ただし，ユニタリー行列$U$が時間に依存するので
\begin{align}
H^{\prime}
&=
U_tHU^{-1}_t
- i \hbar (U_t \partial_t U^{-1}_t)
\tag{1}
\end{align}
である．ここで
\begin{align}
K
&\equiv
c \bm{\alpha} \cdot (\bm{p} +e \bm{A} )
\\
V
&\equiv
-e \phi
\end{align}
とおくと，Hは
\begin{align}
H
&=
m c^2
\ltk
\beta + \frac{1}{m c^2}(K + V)
\rtk
\end{align}
の形に書ける．よって非相対論的極限（$mc^2 \gg c|\bm{p}|$）においてよく効いてくるのは右辺の第一項である．
ここで$U_t=e^{iS_t}$として変換されたハミルトニアンの(1)式に代入にして，各項をべき展開をすると，それぞれの項は
\begin{align}
e^{iS} H e^{-iS}
&=
H
+ i \left[ S,H \right]
+ \frac{i^2}{2!}
\left[ S, \left[ S,H \right] \right]
+ \cdots
\nonumber
\\
&+
\frac{i^n}{n!}
\left[
S, \left[ S, \cdots \left[ S,H \right] \cdots \right]
\right]
+ \cdots
\\
-i \hbar e^{iS} \partial_t e^{-iS}
&=
-\hbar
\left(
\dot{S}
+ \frac{i}{2!}
\left[ S, \dot{S} \right]
+ \frac{i^2}{3!}
\left[ S, \left[ S,\dot{S} \right] \right]
+\cdots
+\frac{ i^{n-1} }{n!}
\left[
S,
\left[
S, \cdots
\left[ S, \dot{S} \right] \cdots
\right]
\right]
+ \cdots
\right)
\end{align}
となるので，$1/m$に関して最低次の項は
\begin{align}
H^{\prime}
&\simeq
H
+i mc^2
\left[S, \beta \right]
\\
&=
m c^2
\ltk
\beta + \frac{1}{m c^2}(K + V)
\rtk
+i mc^2
\left[S, \beta \right]
\end{align}
である．
このべきでハミルトニアンがブロック対角化されるとすると，非対角成分を含む$\bm{\alpha}$，すなわち$K$がユニタリー変換からくる項によって消えてほしいので，
\begin{align}
K
&+
i \left[ S, \beta mc^2 \right]
=0
\\
S
&-
\beta S \beta
=
-\frac{i}{mc^2}\beta K
\end{align}
を満たすとする．
さらに$S$を$\ltk S,\beta \rtk=0$を満たすようにとると，
\begin{align}
S
&=
-\frac{i}{2mc^2} \beta K
\end{align}
と決まる．
第一近似として，運動量のみを含む項については$\frac{1}{m^3}$のべきまで，運動量と場のエネルギーを含む項については
$\frac{1}{m^2}$のべきまでで
$H^{\prime}$の各項を計算すると
\begin{align}
i \left[ S, H \right]
&=
-K
+\frac{1}{2mc^2} \beta
\left[ K, V \right]
+ \frac{1}{mc^2} \beta K^2
\\
\frac{i^2}{2!}
\left[ S, \left[ S,H \right] \right]
&=
-\frac{1}{2mc^2} \beta K^2
- \frac{1}{8m^2 c^4}
\left[ K, \left[ K,V \right] \right]
-\frac{1}{2m^2 c^4} K^3
\\
\frac{i^3}{3!}
\left[ S, \left[ S, \left[ S,H \right] \right] \right]
&=
\frac{1}{6m^2 c^4} K^3
-\frac{1}{6m^3 c^6}
\beta K^4
\\
\frac{i^4}{4!}
\left[
S, \left[ S, \left[ S, \left[ S, H \right] \right] \right]
\right]
&=
\frac{1}{24m^3 c^6}
\beta K^4
\\
-\hbar \dot{S}
&=
\frac{i \hbar}{2mc^2} \beta \dot{K}
\\
-\frac{i \hbar}{2!}
\left[ S, \dot{S} \right]
&=
-\frac{i \hbar}{8m^2 c^4} \left[ K, \dot{K} \right]
\end{align}
となる．
これらをまとめると一次近似の$H^{\prime}$は
\begin{align}
H_{(1)}^{\prime}
&=
\beta
\left(
mc^2 + \frac{1}{2mc^2} K^2
-\frac{1}{8m^2 c^4} K^4
\right)
+ V
- \frac{1}{8m^2 c^4}
\left[
K,\left[ K, V \right]
\right]
\nonumber
\\
&-
\frac{i \hbar}{8m^2 c^4}
\left[ K, \dot{K} \right]
+ \frac{1}{2mc^2} \beta
\left[ K, V \right]
-\frac{1}{3m^2 c^4} K^3
+ \frac{1}{2mc^2} \beta \dot{K}
\end{align}
となる．これと同様の操作を行って第三近似まで計算すると
\begin{align}
H_{(3)} ^{\prime}
&=
\beta
\left[
m c^2
+ \frac{1}{2m}
(\bm{p} + e \bm{A} )^2 - \frac{1}{8 m^3 c^2} (\bm{p})^4
\right]
- e \phi
+ \frac{e \hbar}{2m} \beta
\bm{\Sigma} \cdot \bm{B}
\nonumber
\\
&+
\frac{ie \hbar^2}{8m^2 c^2}
\bm{\Sigma} \cdot ( \bm{\nabla} \times \bm{E} )
+\frac{e \hbar}{4m^2 c^2}
\bm{\Sigma} \cdot ( \bm{E} \times \bm{p} )
+ \frac{e \hbar^2}{8m^2 c^2}
\bm{\nabla} \cdot \bm{E}
\end{align}
が得られる．この式の第三項はパウリ項に相当し，スピン演算子を$\mathbf{S}=\frac{\hbar}{2} \mathbf{\Sigma} $とすると
\begin{align}
\frac{e \hbar}{2m} \beta
\bm{\Sigma} \cdot \bm{B}
&=
\frac{g}{\hbar} \mu_B \beta
\bm{S} \cdot \bm{B}
\end{align}
となる．ただしg因子は$g=2$である．
また第五項は
$\phi$が球対称ポテンシャルのとき
\begin{align}
\frac{e \hbar}{4m^2 c^2}
\bm{\Sigma} \cdot ( \bm{E} \times \bm{p} )
&=
-\frac{e \hbar}{4m^2 c^2} \frac{1}{r}
\frac{d \phi}{dr}
\bm{\Sigma} \cdot ( \bm{r} \times \bm{p} )
\nonumber
\\
&=
-\frac{e \hbar}{4m^2 c^2} \frac{1}{r}
\frac{d \phi}{dr}
\bm{\Sigma} \cdot \bm{L}
\label{spinorbit_derived}
\end{align}
となる．これがスピンと軌道角運動量の結合を表す．
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