QCDのラグランジアン
ここでは自由なクォークのラグランジアン
\begin{eqnarray}
L_q = \sum^n_{f=1} \bar{q}_f (x) (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m_f) q_f (x)
\end{eqnarray}
がSU(3)ゲージ変換のもとで不変であるとすると,強い相互作用を記述するQCDのラグランジアンを導くことができることを簡単に示す.また,和はフレーバーについての和で,カラーの添え字は省略している.
まず,クォーク場$ q_f (x)$のカラーついての
局所的$SU(3)_C$変換
\begin{eqnarray}
q_f (x) \to q^{\prime}_f (x) &=& \exp{ \left[ i \sum^8_{a=1} \theta^a (x) \frac{\Lambda^a}{2} \right] } q_f (x) \\
&\equiv&
U(x)q_f (x)
\end{eqnarray}
を考える.ただし,$\theta^a (x)$は任意の積分可能な実関数,$\Lambda^a$はゲルマン行列である.
ここで,物理法則が局所的なゲージ変換の下で不変である,というゲージ原理を課すと,今の場合のラグランジアンもこの変換のもとで不変になるはずである.
そこで実際に調べてみると
\begin{eqnarray}
\nonumber
L_q \to L^{\prime} _q
&=&
\sum^n_{f=1} \bar{q^{\prime}}_f (x) (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m_f) q^{\prime} _f (x) \\ \nonumber
&=&
\sum^n_{f=1} ( U(x)q_f (x) )^{\dagger} \gamma_0 (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m_f) U(x)q_f (x) \\ \nonumber
&=&
\sum^n_{f=1} \bar{q}_f (x) U^{\dagger} (x) U(x) (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m_f) q_f (x) + \sum^n_{f=1} \bar{q}_f (x) U^{\dagger} (x) i \gamma^{\mu} [\partial_{\mu} U(x)] q_f (x) \\
&=&
L_q - \sum^n_{f=1} \bar{q}_f (x) \gamma^{\mu} U^{\dagger} (x) \sum^8_{a=1} [\partial_{\mu} \theta^a (x)] \frac{\lambda^a}{2} U(x) q_f (x)
\end{eqnarray}
となって,不変にはなっていない.ただし$U$のユニタリー性を用いた.
このままではゲージ原理と矛盾してしまうので,この余分な項を消すために新たにゲージ場$G^a _{\mu} (x) $を導入して微分を共変微分
\begin{eqnarray}
D_{\mu} \equiv \partial_{\mu} + i g \sum^8_{a=1} G^a_{\mu} (x) \frac{\lambda^a}{2}
\end{eqnarray}
に置き換える.この$G^a _{\mu} (x) $はグルオン場と呼ばれるゲージ場である.
よってラグランジアンを改めて書くと,
\begin{eqnarray}
L_{qG} = \sum^n_{f=1} \bar{q}_f (x) (i \gamma^{\mu} D_{\mu} - m_f) q_f (x)
\end{eqnarray}
となる.これによってクォークとグルオンの相互作用項が追加されたことが分かる.
さらにラグランジアンが$SU(3)_c$のもとで不変であるために,
$ D_{\mu} q_f (x)$が
\begin{eqnarray}
D_{\mu} q_f (x) \to D^{\prime}_{\mu} q^{\prime}_f (x) =U(x)D_{\mu} q_f (x)
\end{eqnarray}
というゲージ共変性を持つ必要があるので
\begin{eqnarray}
\nonumber
D^{\prime}_{\mu} q^{\prime}_f (x) &=& \left[ \partial_{\mu} + i g \sum^8_{a=1} G^{\prime a}_{\mu} (x) \frac{\lambda^a}{2} \right] q^{\prime} _f (x) \\ \nonumber
&=&
\left[ \partial_{\mu} + i g \sum^8_{a=1} G^{\prime a}_{\mu} (x) \frac{\lambda^a}{2} \right] U(x) q _f (x) \\
&=&
U(x) \left[ \partial_{\mu} + i g \sum^8_{a=1} G^a _{\mu} (x) \frac{\lambda^a}{2} \right] q _f (x)
\end{eqnarray}
である.よって
\begin{eqnarray}
\nonumber
&\sum^8_{a=1} & G^{\prime a}_{\mu} (x) \frac{\lambda^a}{2} U(x) q_f (x)
+\frac{i}{g} [\partial_{\mu} U(x)] q_f (x)
= U(x) \sum^8_{a=1} G^a _{\mu} (x) \frac{\lambda^a}{2} q_f (x) \\
& \sum^8_{a=1} & G^{\prime a}_{\mu} (x) \frac{\lambda^a}{2}
= U(x) \sum^8_{a=1} G^a _{\mu} (x) \frac{\lambda^a}{2} U^{-1} (x) - \frac{i}{g} U(x) [\partial_{\mu} U^{-1}(x)]
\end{eqnarray}
と書けるので,グルオンのゲージ変換性が分かる.
ただし$[\partial_{\mu} U] U^{-1} =U [\partial_{\mu} U^{-1}] $
を用いた.
また,共変微分間の交換関係を考えると
\begin{eqnarray}
\nonumber
[D_{\mu},D_{\nu}] &=&
\left[\partial_{\mu} + i g \sum^8_{a=1} G^a_{\mu} (x) \frac{\lambda^a}{2},\partial_{\nu} + i g \sum^8_{b=1} G^b_{\nu} (x) \frac{\lambda^b}{2} \right] \\ \nonumber
&=&
i g \sum^8_{b=1} \partial_{\mu} G^b_{\nu} (x) \frac{\lambda^b}{2}
-i g \sum^8_{a=1} \partial_{\nu} G^a_{\mu} (x) \frac{\lambda^a}{2} \\ \nonumber
&+&
(ig)^2 \left( \sum^8_{a=1} G^a_{\mu} (x) \frac{\lambda^a}{2} \right)
\left( \sum^8_{b=1} G^b_{\nu} (x) \frac{\lambda^b}{2} \right) \\ \nonumber
&-&
(ig)^2 \left( \sum^8_{b=1} G^b_{\nu} (x) \frac{\lambda^b}{2} \right)
\left( \sum^8_{a=1} G^a_{\mu} (x) \frac{\lambda^a}{2} \right) \\ \nonumber
&=&
i g \sum^8_{b=1} \left[ \partial_{\mu} G^b_{\nu} (x) - \partial_{\nu} G^a_{\mu} (x) \right] \frac{\lambda^a}{2} \\ \nonumber
&+&
(ig)^2 \sum^8_{a,b=1} G^a_{\mu} (x) G^b_{\nu} (x) \left[ \frac{\lambda^a}{2} , \frac{\lambda^b}{2} \right] \\ \nonumber
&=&
i g \sum^8_{b=1} \left[ \partial_{\mu} G^b_{\nu} (x) - \partial_{\nu} G^a_{\mu} (x) \right] \frac{\lambda^a}{2} \\ \nonumber
&+&
i (ig)^2 \sum^8_{a,b,c=1} f^{abc} G^a_{\mu} (x) G^b_{\nu} (x) \frac{\lambda^c}{2} \\ \nonumber
&=&
ig \sum^8_{a=1} \left( \partial_{\mu} G^b_{\nu} (x) - \partial_{\nu} G^a_{\mu} (x) - g \sum^8_{a,b,c=1} f^{abc} G^b_{\mu} (x) G^c_{\nu} (x) \right) \frac{\lambda^a}{2} \\
& \equiv &
ig \sum^8_{a=1} G^a _{\mu \nu} \frac{\lambda^a}{2}
\end{eqnarray}
と表せる.ただし
\begin{eqnarray}
\left[ \frac{\lambda^a}{2} , \frac{\lambda^b}{2} \right]
= i \sum^8_{c=1} f^{abc} \frac{\lambda^c}{2}
\end{eqnarray}
となることを用いた.ここで$f^{abc}$は三つの添え字に関して完全反対称な
$SU(3)$のリー代数の構造定数である.
ここで定義した$G^a _{\mu \nu}$は量子電磁気学（QED）からの類推でによって,グルオン場の強さを表す.
この$G^a _{\mu \nu}$に対するゲージ変換も
$G^a _{\mu}$の変換性から
\begin{eqnarray}
\nonumber
\sum^8_{a=1} G^a _{\mu \nu} \frac{\lambda^a}{2} &\to& \sum^8_{a=1} G^{\prime a} _{\mu \nu} \frac{\lambda^a}{2} \\
&=& U(x) \sum^8_{a=1} G^a _{\mu \nu} \frac{\lambda^a}{2} U^{-1} (x)
\end{eqnarray}
となる.
ここで,量子電磁気学の場合では光子場の運動項は電磁場テンソルを用いて
$-\frac{1}{4}F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$で表されることが知られている.これはこの項をラグランジアンに入れたとき,ゲージ不変性とローレンツ不変性をもち,場と場の微分の二次の項を持ってほしいからである.今の強い相互作用の理論は量子電磁気学の拡張から得られるので,この場合のグルオン場は光子場の拡張になっているはずである.なのでグルオン場の運動項も
$-\frac{1}{4}G^a_{\mu \nu} G^{a \mu \nu}$という形で表すことにする.
実際,
\begin{eqnarray}
\nonumber
-\frac{1}{4} \sum_a G^a_{\mu \nu} G^{a \mu \nu} &=&
-\frac{1}{4} \sum_{a,b} \delta_{a,b} G^a_{\mu \nu} G^{b \mu \nu} \\ \nonumber
&=&
-\frac{1}{2} \sum_{a,b} \mathrm{tr} \left( \frac{\lambda^a}{2} \frac{\lambda^b}{2} \right) G^a_{\mu \nu} G^{b \mu \nu} \\
&=&
-\frac{1}{2}\mathrm{tr} \left( \sum_{ab} G^a _{\mu \nu} \frac{\lambda^a}{2}
G^{b \mu \nu} \frac{\lambda^b}{2} \right)
\end{eqnarray}
となり,最後の式は$G^a _{\mu \nu}$のゲージ変換性から,明らかにゲージ不変である.
よってこの項は確かににゲージ不変である.
まとめると$SU(3)_c$のもとで不変なラグランジアンは,
\begin{eqnarray}
L_{qG} = \sum^n_{f=1} \bar{q}_f (x) (i \gamma^{\mu} D_{\mu} - m_f) q_f (x)
-\frac{1}{4}G^a_{\mu \nu} G^{a \mu \nu}
\end{eqnarray}
となる.これにCP不変性を破るが運動方程式には影響しない$\theta$項と呼ばれる
\begin{eqnarray}
L_{\theta} = \frac{\theta}{64\pi^2} \sum^8_{a=1} \epsilon^{\mu \nu \lambda \rho} G^a_{\mu \nu} G^a_{\lambda \rho}
\end{eqnarray}
を加えて
\begin{eqnarray}
L_{QCD} = \sum^n_{f=1} \bar{q}_f (x) (i \gamma^{\mu} D_{\mu} - m_f) q_f (x)
-\frac{1}{4}G^a_{\mu \nu} G^{a \mu \nu} + \frac{\theta}{64\pi^2} \sum^8_{a=1} \epsilon^{\mu \nu \lambda \rho} G^a_{\mu \nu} G^a_{\lambda \rho}
\end{eqnarray}
となる.このラグランジアンによる場の量子論がQCDである.
よって,QCDは非可換ゲージ理論の一種である.
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