Lindblad方程式の導出
デコヒーレンスをモデル化するために量子開放系という考え方が使われる．
これは全系を注目する系とそれ以外の環境系にわけてそれらの間の相互作用を考えることによって
注目系のデコヒーレンスを記述する考え方である．
注目系の密度行列の時間発展を考えるとLindblad方程式と呼ばれるマスター方程式を導くことができる．
この方程式は量子開放系のダイナミクスを記述する際によく使われるので，ここではその導出を確認しておく．
まず，全系のハミルトニアンを注目系と環境系とその間の相互作用にわけて
\begin{align}
H= H_S + H_E + H_I
\end{align}
と表す．
この全系の時間発展はシュレディンガー方程式から
\begin{align}
i \partial_t \ket{\psi (t)} = H \ket{\psi (t)}
\end{align}
と表される．
この系の密度行列の時間発展は
\begin{align}
i \dot{\rho} (t) = [ H , \rho (t) ]
\end{align}
となるのでその解は
\begin{align}
\rho (t) = e^{-i H t} \rho_0 e^{i H t}
\end{align}
と表せる．
ここで環境との相互作用は小さくて摂動として扱えると考えて
\begin{align}
H &= H_0 + H_I \\
H_0 &= H_S + H_E
\end{align}
として相互作用描像
\begin{align}
\ket{\psi}_I &= e^{i H_0 t} \ket{\psi}_S \\
\hat{O}(t) &= e^{i H_0 t} \hat{O}_S e^{-i H_0 t}
\end{align}
を導入すると密度行列とその時間発展は
\begin{align}
i \dot{\rho}_I (t) &= [ H^{\prime}_I(t) , \rho (t) ] \\
& H^{\prime}_I(t) = e^{i H_0 t} H_I e^{-i H_0 t} \\
\rho_I(t) &= \rho_I(0) - i \int^t_0 dt_1 [ H^{\prime}_I(t_1) , \rho (t_1) ]
\end{align}
と表せる．
この$\rho_I(t)$を再び$\dot{\rho}_I(t)$の右辺に代入すると
\begin{align}
\dot{\rho}_I (t) = -i [ H^{\prime}_I(t) , \rho (0) ]
- \int^t_0 dt_1 [ H^{\prime}_I(t_) , [ H^{\prime}_I(t_1) , \rho (t_1) ] ]
\end{align}
となる．
reduced density matrixとして
\begin{align}
\rho_S(t) = Tr_B ( \rho_I(t) )
\end{align}
を考える．これの時間微分は
\begin{align}
\dot{\rho}_I (t) = -i Tr_B [ H^{\prime}_I(t) , \rho (0) ]
- Tr_B \int^t_0 dt_1 [ H^{\prime}_I(t) , [ H^{\prime}_I(t_1) , \rho (t_1) ] ]
\end{align}
となる.ここで第一項は計算するとゼロになることがわかる.
また環境は常に熱平衡で,
\begin{align}
\rho_I(t) = \rho_{SI} (t) \otimes \rho_B(0)
\end{align}
とする.
よって
\begin{align}
\dot{\rho}_I (t)
=- Tr_B \int^t_0 dt_1 [ H^{\prime}_I(t) , [ H^{\prime}_I(t_1) , \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0) ] ]
\end{align}
となる.
さらにマルコフ近似$\rho_{SI}(t_1) \rightarrow \rho_{SI}(t) $を使って
\begin{align}
\dot{\rho}_I (t)
=- Tr_B \int^t_0 dt_1 [ H^{\prime}_I(t) , [ H^{\prime}_I(t_1) , \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0) ] ]
\end{align}
とする.
ここで
\begin{align}
S_j(t) &= e^{iH_S t} S_j e^{-iH_S t} \\
B_j(t) &= e^{iH_B t} B_j e^{-iH_B t}
\end{align}
を導入すると相互作用ハミルトニアンは
\begin{align}
H_I(t) = \sum_j S_j(t) \otimes B_j(t)
\end{align}
とかける.
右辺の交換子を計算してこれを代入すると
\begin{align}
\dot{\rho}_{SI} (t)
&= - Tr_B \int^t_0 dt_1
[ H_I(t) , [ H_I(t_1) , \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0) ] ] \\
&= - Tr_B \int^t_0 dt_1
[ H_I(t) [ H_I(t_1) , \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0) ] - [ H_I(t_1) , \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0) ] H_I(t) ] \\
&= - Tr_B \int^t_0 dt_1
\left[
H_I(t) [ H_I(t_1) \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0) - \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0) H_I(t_1) ] \right. \\
&\quad \left.
- [ H_I(t_1) \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0) - \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0) H_I(t_1) ] H_I(t)
\right] \\
&= - Tr_B \int^t_0 dt_1
\left[
H_I(t) H_I(t_1) \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0)
- H_I(t) \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0) H_I(t_1) \right. \\
&\quad \left.
- H_I(t_1) \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0) H_I(t)
+ \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0) H_I(t_1) H_I(t)
\right] \\
&= - Tr_B \int^t_0 dt_1 \sum_j \sum_k
\left[
(S_j(t) \otimes B_j(t) ) ( S_k(t_1) \otimes B_k(t_1) )( \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0) )
- ( S_j(t) \otimes B_j(t) ) ( \rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0) ) ( S_k(t_1) \otimes B_k(t_1) ) \right. \\
&\quad \left.
- (S_k(t_1) \otimes B_k(t_1)) (\rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0)) (S_j(t) \otimes B_j(t))
+ (\rho_{SI} (t_1) \otimes \rho_B(0)) (S_k(t_1) \otimes B_k(t_1)) (S_j(t) \otimes B_j(t))
\right] \\
&=- Tr_B \int^t_0 dt_1 \sum_j \sum_k
\left[
S_j(t) S_k(t_1) \rho_{SI} (t_1) \otimes B_j(t) B_k(t_1) \rho_B(0)
- S_j(t) \rho_{SI}(t_1) S_k(t_1) \otimes B_j(t) \rho_B(0) B_k(t_1) \right. \\
&\quad \left.
- S_k(t_1) \rho_{SI}(t_1) S_j(t) \otimes B_k(t_1) \rho_B(0) B_j(t)
+ \rho_{SI} (t_1) S_k(t_1) S_j(t) \otimes \rho_B(0) B_k(t_1) B_j(t)
\right] \\
\end{align}
となる.
ここで
\begin{align}
G_{jk}(t,t_1) = Tr_B (B_j(t) B_k(t_1) \rho_B(0))
\end{align}
とすると上の式は
\begin{align}
\dot{\rho}_{SI} (t)
&=- \int^t_0 dt_1 \sum_j \sum_k
\left[
S_j(t) S_k(t_1) \rho_{SI} (t_1) G_{jk}(t,t_1)
- S_j(t) \rho_{SI}(t_1) S_k(t_1) G_{jk}^{\dagger}(t,t_1) \right. \\
&\quad \left.
- S_k(t_1) \rho_{SI}(t_1) S_j(t) G_{jk}(t,t_1)
+ \rho_{SI} (t_1) S_k(t_1) S_j(t) G_{jk}^{\dagger}(t,t_1)
\right] \\
&=- \int^t_0 dt_1 \sum_j \sum_k
\left[
\left[
S_j(t) S_k(t_1) \rho_{SI}(t) - S_k(t_1) \rho_{SI}(t) S_j(t)
\right]G_{jk}(t,t_1) -H.C.
\right]
\end{align}
と表せる.
さらに$t_1=t-s$と変数変換して$t$と$t_1$を新しいパラメータ$s$によって関連付ける.
また$G_{jk}(s)=G_{jk}(s,0)$とすると
\begin{align}
\dot{\rho}_{SI} (t)
&= - \sum_j \sum_k \int^t_0 d(t-s)
\left[
\left[
S_j(t) S_k(t-s) \rho_{SI}(t) - S_k(t-s) \rho_{SI}(t) S_j(t)
\right]G_{jk}(t,t-s) -H.C.
\right] \\
&= - \sum_j \sum_k \int^t_0 ds
\left[
\left[
S_j(t) S_k(t-s) \rho_{SI}(t) - S_k(t-s) \rho_{SI}(t) S_j(t)
\right]G_{jk}(s) -H.C.
\right] \\
&= - \sum_j \sum_k \int^{\infty}_0 ds
\left[
\left[
S_j(t) S_k(t-s) \rho_{SI}(t) - S_k(t-s) \rho_{SI}(t) S_j(t)
\right]G_{jk}(s) -H.C.
\right]
\end{align}
となる.
ここで相関関数$G_{jk}(s)$が減衰する時間よりも
$t$が十分大きいとし,積分範囲を$0$から$t \rightarrow \infty$としても
結果が変わらないとしている.
また$H_S$の固有状態$\ket{\omega}$を使って
\begin{align}
S_j(t) &= \sum_{\omega,\omega^{\prime}}
e^{iH_S t} \ket{\omega} \bra{\omega} S_j \ket{\omega^{\prime}} \bra{\omega^{\prime}} e^{-iH_S t} \\
&= \sum_{\omega,\omega^{\prime}}
e^{-i(\omega^{\prime}-\omega) t}
\ket{\omega} \bra{\omega} S_j \ket{\omega^{\prime}} \bra{\omega^{\prime}} \\
&= \sum_{\Omega} \sum_{\omega-\omega^{\prime}=\Omega}
e^{-i\Omega t}
\ket{\omega} \bra{\omega} S_j \ket{\omega^{\prime}} \bra{\omega^{\prime}} \\
&= \sum_{\Omega}
e^{-i\Omega t} S_j(\Omega)
\end{align}
とする.
これを使って
\begin{align}
\dot{\rho}_{SI} (t)
&= - \sum_{j,k} \sum_{\Omega,\Omega^{\prime}} \int^{\infty}_0 ds
\left[
e^{-i(\Omega - \Omega^{\prime}) t} e^{i\Omega^{\prime} s}
\left[
S_j(\Omega) S_k(\Omega^{\prime}) \rho_{SI}(t) - S_k(\Omega^{\prime}) \rho_{SI}(t) S_j(\Omega)
\right]G_{jk}(s) + H.C.
\right]
\end{align}
となる.
ここで
\begin{align}
\Gamma_{j,k}(\Omega) = \int^{\infty}_0 ds e^{i\Omega s} G_{j,k}(s)
\end{align}
とおくと
\begin{align}
\dot{\rho}_{SI} (t)
&= - \sum_{j,k} \sum_{\Omega,\Omega^{\prime}}
\left[
e^{-i(\Omega - \Omega^{\prime}) t} \Gamma_{j,k}(\Omega)
\left[
S_j(\Omega) S_k(\Omega^{\prime}) \rho_{SI}(t) - S_k(\Omega^{\prime}) \rho_{SI}(t) S_j(\Omega)
\right] + H.C.
\right]
\end{align}
となる.
また,$\Omega + \Omega^{\prime}$が大きいところは打ち消し合って消えるので
$\Omega + \Omega^{\prime}=0$のところだけが効いてくるとする.
よって
\begin{align}
\dot{\rho}_{SI} (t)
&= - \sum_{j,k} \sum_{\Omega}
\left[
\Gamma_{j,k}(\Omega)
\left[
S_j(\Omega) S_k(-\Omega) \rho_{SI}(t) - S_k(-\Omega) \rho_{SI}(t) S_j(\Omega)
\right] + H.C.
\right] \\
&= - \sum_{j,k} \sum_{\Omega}
\left[
\Gamma_{j,k}(\Omega)
\left[
S_j(\Omega) S^{\dagger}_k(\Omega) \rho_{SI}(t) - S^{\dagger}_k(\Omega) \rho_{SI}(t) S_j(\Omega)
\right] + H.C.
\right]
\end{align}
となる.
さらに$\Gamma_{j,k}$を実部と虚部に分解して
\begin{align}
\Gamma_{j,k} (\Omega) = \frac{1}{2} ( J_{j,k}(\Omega) + i I_{j,k}(\Omega) )
\end{align}
とすると,
\begin{align}
\dot{\rho}_{SI} (t)
&= - \sum_{j,k} \sum_{\Omega}
\left[
\Gamma_{j,k}(\Omega)
\left[
S_j(\Omega) S^{\dagger}_k(\Omega) \rho_{SI}(t) - S^{\dagger}_k(\Omega) \rho_{SI}(t) S_j(\Omega)
\right] + H.C.
\right] \\
&= - \sum_{j,k} \sum_{\Omega}
\Gamma_{j,k}(\Omega)
\left[
S_j(\Omega) S^{\dagger}_k(\Omega) \rho_{SI}(t) - S^{\dagger}_k(\Omega) \rho_{SI}(t) S_j(\Omega)
+ \rho_{SI}(t) S_j(\Omega) S^{\dagger}_k(\Omega) - S^{\dagger}_j(\Omega) \rho_{SI}(t) S_k(\Omega)
\right] \\
&= - \sum_{j,k} \sum_{\Omega}
\Gamma_{j,k}(\Omega)
\left[
[S^{\dagger}_j(\Omega) , S_k(\Omega) \rho_{SI}(t) ]
+[ \rho_{SI}(t) S_{k}^{\dagger}(\Omega), S_j(\Omega) ]
\right] \\
&= \frac{1}{2} \sum_{j,k} \sum_{\Omega}
( J_{j,k}(\Omega) + i I_{j,k}(\Omega) )
\left[
[ S_k(\Omega) \rho_{SI}(t) , S^{\dagger}_j(\Omega) ]
+[ S_j(\Omega) , \rho_{SI}(t) S_{k}^{\dagger}(\Omega) ]
\right] \\
&= \frac{1}{2} \sum_{j,k} \sum_{\Omega}
J_{j,k}(\Omega)
\left[
[ S_k(\Omega) \rho_{SI}(t) , S^{\dagger}_j(\Omega) ]
+[ S_j(\Omega) , \rho_{SI}(t) S_{k}^{\dagger}(\Omega) ]
\right] \\
&\quad + \frac{i}{2} \sum_{j,k} \sum_{\Omega}
I_{j,k}(\Omega)
\left[
[ S_k(\Omega) \rho_{SI}(t) , S^{\dagger}_j(\Omega) ]
+[ S_j(\Omega) , \rho_{SI}(t) S_{k}^{\dagger}(\Omega) ]
\right] \\
&= \sum_{j,k} \sum_{\Omega}
\left[ J_{j,k} S_j \rho_{SI} S_k^{\dagger}
-\frac{1}{2} J_{j,k} \{ S_j^{\dagger} S_k , \rho_{SI} \}
\right] \\
&\quad - \frac{i}{2} \sum_{j,k} \sum_{\Omega}
[I_{j,k} S_j^{\dagger} S_k , \rho_{SI}] \\
&= -i [H_{LS} , \rho_{SI}(t)]
+ \sum_{j,k} \sum_{\Omega}
\left[ J_{j,k} S_j \rho_{SI} S_k^{\dagger}
-\frac{1}{2} J_{j,k} \{ S_j^{\dagger} S_k , \rho_{SI} \}
\right]
\end{align}
となってLindblad方程式が導かれる.
ただし途中の計算で$J_{jk}=J_{kj}, \, I_{jk}=-I_{kj}$を用いた.
また,
\begin{align}
H_{LS} = \frac{1}{2} \sum_{j,k} \sum_{\Omega}
I_{j,k} S_j^{\dagger} S_k
\end{align}
を導入した.
得られたLindblad方程式で,$I,J$が環境の効果を表す関数となっている.特に第一項目の$H_{LS}$は環境の効果を取り込んだ,注目系の有効ハミルトニアンで,後ろの2つの項は非ユニタリな効果を表す.
この形の方程式は密度行列の完全正値性を保証することが知られているため,量子系を記述するのに都合がよく,頻繁に使われる.
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