調和振動子の量子力学
ここでは，量子力学での1次元調和振動子系を個数表示で解く方法をまとめようと思う．
個数表示の考え方は，単にきれいに解ける例というだけでなく，場の量子論を考える際にも基礎となる重要な方法なので再確認しておこう．以下では$\hbar = 1$とする．
まず1次元調和振動子のハミルトニアンは以下のように与えられることは知っているとする．
\begin{align}
\hat{H}
=
\frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \hat{x}^2
\end{align}
また，$x, p$は正準交換関係
\begin{align}
[\hat{x}, \hat{p}] = \rm{i}
\end{align}
を満たす演算子である．
このハミルトニアン$(1)$は運動量と座標について，それぞれ2次の項を含む形をしている．これでも十分シンプルだが，さらに新しい演算子を導入して簡単化することを考える．
\begin{align}
\hat{H}
&=
\omega
\ldk
\frac{1}{2m\omega}
\lk
\hat{p} + \rm{i}m\omega \hat{x}
\rk
\lk
\hat{p} - \rm{i}m\omega \hat{x}
\rk
+ \frac{1}{2}
\rdk
\nn \\
&=
\omega
\lk
\hat{a}^{\dagger} \hat{a} + \frac{1}{2}
\rk
\nn \\
&=
\omega
\lk
\hat{n} + \frac{1}{2}
\rk
\end{align}
ただし，ここで導入した演算子は
\begin{align}
\hat{a}
&=
\frac{1}{\sqrt{2m\omega}}
\lk
\hat{p} - \rm{i} m\omega \hat{x}
\rk,
\nn \\
\hat{n}
&=
\hat{a}^{\dagger} \hat{a}
\end{align}
であり，
\begin{align}
[\hat{a}, \hat{a}]
&=
[\hat{a}^{\dagger}, \hat{a}^{\dagger}] = 0,
\nn \\
[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}]
&=
\frac{1}{2m\omega}
\ldk
\hat{p} - \rm{i} m\omega \hat{x}, \hat{p} + \rm{i} m\omega \hat{x}
\rdk
\nn \\
&=
\frac{1}{2m\omega}
\rm{i}m\omega
\lk
[\hat{p}, \hat{x}] - [\hat{x}, \hat{p}]
\rk
\nn \\
&=
1
\end{align}
という性質を満たす．
この$\hat{n}$に対応する固有状態$\ket{n}$を用意する．
よってこの状態は次の性質を満たす．
\begin{align}
& \sum^{\infty}_{n=0}
\ket{n}\bra{n} = 1
\\
& \braket{n|m} = \delta_{n, m}
\end{align}
また，導入した演算子を$\ket{n}$に作用させた状態では$\hat{n}$の固有値がどう変わるかを調べると
\begin{align}
\hat{n}\hat{a}^{\dagger}\ket{n}
&=
\hat{a}^{\dagger} \hat{a}
\hat{a}^{\dagger} \ket{n}
\nn \\
&=
\hat{a}^{\dagger}
\lk
\hat{a}^{\dagger} \hat{a} + 1
\rk
\ket{n}
\nn \\
&=
\lk
n+1
\rk
\hat{a}^{\dagger} \ket{n},
\nn \\
\hat{n} \hat{a} \ket{n}
&=
\hat{a}^{\dagger} \hat{a}
\hat{a} \ket{n}
\nn \\
&=
(\hat{a} \hat{a}^{\dagger} -1) \hat{a}\ket{n}
\nn \\
&=
(n-1)\hat{a} \ket{n}
\end{align}
となる．
このように$\hat{a}^{\dagger}, \hat{a}$を作用させた状態もまた演算子$\hat{n}$の固有状態であることがわかった．
さらに，$\hat{a}^{\dagger}, \hat{a}$はそれぞれ$\hat{n}$の固有値を1つ増やしたり減らしたりする振る舞いをすることもわかったのでこれらを生成消滅演算子と呼ぶことにする．
元のハミルトニアンは明らかにHermiteなので，この$\hat{n}$もHermiteである．だから，この$\hat{n}$の固有値は実数であることが保証されている．
また$\hat{n}$の形から
\begin{align}
\hat{n}
&=
\bra{n} \hat{n} \ket{n}
\nn \\
&=
\bra{n} \hat{a}^{\dagger} \hat{a} \ket{n}
\nn \\
&=
|\lk \hat{a} \ket{n} \rk |^2 \ge 0
\end{align}
となるので固有値$n$は正である．
正の実数というと0以上ということになるが，このように値の取りうる範囲が決まっている場合，範囲の端っこのように極端な場合を考えてみたくなる．ということで，固有値$n=0$の状態を考えてみる．この状態に，さらに消滅演算子を作用させると，上の結果から，
\begin{align}
\hat{n}\hat{a}\ket{0}
&=
-1\hat{a}\ket{0}
\end{align}
となるのでエネルギー固有値は$-1$となる．しかしこれは$n{\ge}0$であることと矛盾するので
\begin{align}
\hat{a}\ket{0}
&=
0
\end{align}
でなければならない．
以上のことを踏まえて，$n$の固有状態$\ket{n}$を，$\ket{0}$に生成演算子を複数作用させたものとして以下のように定義する．
\begin{align}
\ket{n}
&=
\frac{1}{\sqrt{n!}}
\lk \hat{a}^{\dagger} \rk^n \ket{0}
\end{align}
ここで$\frac{1}{\sqrt{n!}}$は規格化定数である．
この状態の生成消滅演算子に対する応答を確認してみる．まず生成演算子を作用させると
\begin{align}
\hat{a}^{\dagger}\ket{n}
&=
\hat{a}^{\dagger}
\frac{1}{\sqrt{n!}}
\lk \hat{a}^{\dagger} \rk^n \ket{0}
\nn \\
&=
\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1!}}
\lk \hat{a}^{\dagger} \rk^{n+1} \ket{0}
\nn \\
&=
\sqrt{n+1}
\ket{n+1},
\end{align}
となる．次に$(13)$で$n-1$の場合を考え，両辺に左から消滅演算子を書けると
\begin{align}
\hat{a}\hat{a}^{\dagger}\ket{n-1}
&=
\hat{a}\sqrt{n}\ket{n}
\nn \\
\lk \hat{a}^{\dagger}\hat{a} + 1 \rk \ket{n-1}
&=
\sqrt{n}a\ket{n}
\nn \\
n\ket{n-1}
&=
\sqrt{n}\hat{a}\ket{n}
\nn \\
\hat{a}\ket{n}
&=
\sqrt{n}\ket{n-1}
\end{align}
を得る．
したがって，これまでの結果をまとめると元のハミルトニアンの固有値と固有状態は
\begin{align}
\hat{H} \ket{n}
&=
E_n \ket{n}
\\
E_n
&=
\omega
\lk
n + \frac{1}{2}
\rk
\\
\ket{n}
&=
\frac{1}{\sqrt{n!}}
\lk \hat{a}^{\dagger} \rk^n \ket{0}
\end{align}
となる．$\ket{n}$の性質は$(11)$～$(14)$でわかっている．よって，全ての固有関数とそれに対応する固有値が求まったことになるので，この調和振動子系は固有値問題として解くことができた．
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