Gauss（ガウス）積分の簡単な証明
Gauss積分は以下の結果で知られている。
\begin{align}
\int^{\infty}_{- \infty} \, \rm{d}x \exp{(- a x^2)} = \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{align}
物理の分野ではあまりに有名な式なので、物理系の学生ならどこかで見たことがあると思う。
とくに調和振動子系の経路積分など。
また、被積分関数は正規分布として知られる形をしていて、
よく確率分布関数として使われるので他の分野の方でも見たことがあるかもしれない。
この関数は分散と平均値を決めれば関数形が決まってしまうという便利な性質があるので、
よく確率・統計学の分野で現象をモデル化するときに使われる。
分散と平均値はデータから得られることが多い。
ここでは上の積分の結果を簡単に示してみようと思う。
まず積分を
\begin{align}
I = \int^{\infty}_{- \infty} \, \rm{d}x \exp{(- a x^2)}
\end{align}
とおく。
両辺を2乗して、
\begin{align}
I^2
&=
\left(
\int^{\infty}_{- \infty} \, \rm{d}x \exp{(- a x^2)}
\right)
\left(
\int^{\infty}_{- \infty} \, \rm{d}y \exp{(- a y^2)}
\right)
\\
&=
\int^{\infty}_{- \infty} \, \rm{d}x \int^{\infty}_{- \infty} \, \rm{d}y
\exp{\left\{- a (x^2 + y^2)\right\}}
\end{align}
となる。
次に
$r=\sqrt{x^2 + y^2}$として2次元極座標への変数変換を考える。
変数変換の変換係数としてのJacobianは
\begin{align}
J &=
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r}
\end{array}
\right|
\\
&=
\left|
\begin{array}{cc}
\cos{\theta} & - r \sin{\theta} \\
\sin{\theta} & r \cos{\theta}
\end{array}
\right|
\\
&=
r \cos^2 \theta =+ r sin^2 \theta
\\
&=
r
\end{align}
となるので、
$\rm{d}x \rm{d}y = r \, \rm{d}r \rm{d}\theta$
と書ける。
これを使って
\begin{align}
I^2
&=
\int^{\infty}_0 r \rm{d}r \int^{2\pi}_0 \rm{d}\theta \,
e^{- a r^2}
\\
&=
2 \pi
\int^{\infty}_0 r \rm{d}r \,
e^{- a r^2}
\\
&=
\pi
\int^{\infty}_0 \rm{d} s \,
e^{- a s}
\\
&=
\pi
\left[
- \frac{1}{a} \, e^{-a s}
\right]^{\infty}_0
\\
&=
\frac{\pi}{a}
\end{align}
と表せる。
ここで、$s=r^2$とおいて変数変換した。
両辺の平方根を取ると
\begin{align}
I
&=
\sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{align}
となって元の式が示される。
この式は$\exp$の方が少し複雑な場合や複素数の場合など、派生が多く存在するので
調べてみるとおもしろい。
自分がやりたい計算に使える派生版がすでに証明されていることも多い。
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